Γεωμετρικός τόπος

orestisgotsis · #1

Περιττό

KARKAR · #2

: Αντίστροφο τόπου.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 1556 φορές

Ονομάζω

την τομή των DA , CB

. Φέρω τη διχοτόμο της $\widehat{DAC}$ . Από τυχόν σημείο

του τόπου φέρω παράλληλη προς τη διχοτόμο . Τμήμα αυτής είναι ο ζητούμενος τόπος .

Θεωρήστε τα παραπάνω ως συμβολή στη λύση , όχι ως ολοκληρωμένη απάντηση ( Διερεύνηση ! )

S.E.Louridas · #3

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Μαρ 05, 2023 9:40 pm Γεωμετρικός τόπος.png

Δίνεται τετράπλευρο ABCD. Στις προεκτάσεις των πλευρών AD και BC λαμβάνουμε τα σημεία ${{A}_{1}}$ και ${{B}_{1}}$ , ώστε να είναι $A{{A}_{1}}=B{{B}_{1}}$ .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής M των $A{{B}_{1}}$ και $B{{A}_{1}}$ .

Ας το επαναφέρουμε:

Καταρχάς να αναφέρουμε ότι το σημείο

είναι το γνωστό Σημείο του Miquel με τις ιδιότητες που φαίνονται στο σχήμα.
Είναι γεγονός από την εκφώνηση ότι οι κύκλοι ${c_1}, c_2$ είναι ίσοι (ίσες γωνίες που "βλέπουν" ίσα ευθύγραμμα τμήματα).
Από αυτό προκύπτει ότι τα τρίγωνα $A{A_1}E, BEB_1$ είναι ίσα, άρα η

είναι η διχοτόμος της γωνίας xOy.

Από εδώ προκύπτει ότι τα ισοσκελή τρίγωνα $E{B_1}A,\;EB{A_1}$ είναι όμοια.
Βλέπουμε ότι το τετράπλευρο MBQZ

προκύπτει παραλληλόγραμμο επομένως $MZ = \left| {OB - OA} \right|,\;ct.$
Όμοια προκύπτει ότι $MF = \left| {OB - OA} \right|,\;ct. \Rightarrow MZ = MF = \left| {OB - OA} \right|,\;ct,$ με $\angle ZMF = \pi - \angle AOB,\;ct.$
Έτσι το τρίγωνο MZE

κινείται διατηρώντας το μέγεθός του σταθερό, άρα και το ύψος του

σταθερό που σημαίνει ότι το

θα κινείται σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην διχοτόμο Od.

…

: good.png (127.4 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Μαρ 05, 2023 9:40 pmΔίνεται τετράπλευρο ABCD. Στις προεκτάσεις των πλευρών AD και BC λαμβάνουμε τα σημεία ${{A}_{1}}$ και ${{B}_{1}}$ , ώστε να είναι $A{{A}_{1}}=B{{B}_{1}}$ . Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής M των $A{{B}_{1}}$ και $B{{A}_{1}}$ .

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Ορέστη (#4).

$\bullet$ έστω το σημείο $A_{0}$ επί της ευθείας $AD\equiv Ax$ ώστε να είναι $AA_{0} = BC$ και επομένως, το σημείο $M_{0}\equiv AC\cap BA_{0}$ είναι σταθερό.

Οι δια των σημείων $A,\ B,$ παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες $BC,\ AD$ αντιστοίχως τέμνονται σε σταθερό σημείο, έστω το

Έστω τα τυχόντα σημεία $A_{1}\in Ax,\ B_{1}\in By$ ώστε να είναι $AA_{1} = BB_{1}$ και θα αποδειχθεί ότι το σημείο έστω $M\equiv AB_{1}\cap BA_{1}$ ανήκει στην σταθερή ευθεία $M_{0}P.$

$\bullet$ Θεωρούμε τις δέσμες $A.BCB_{1}P,\ B.AA_{0}A_{1}P$ και έχουμε:

$(A.BCB_{1}P) = (B,C,B_{1})\ \ \ ,(1)$ και $(B.AA_{0}A_{1}P) = (A,A_{o},A_{1})\ \ \ ,(2)$ λόγω $BB_{1}\parallel AP$ και $AA_{1}\parallel BP.$

Αλλά, ισχύει $(B,C,B_{1}) = (A,A_{0},A_{1})\ \ \ ,(3)$ λόγω $AA_{0} = BC$ και $AA_{1} = BB_{1}$

Από $(1),\ (2),\ (3)\Rightarrow$ $(A.BCB_{1}P) = (B.AA_{0}A_{1}P)\ \ \ ,(4)$

Από (4)

και επειδή οι δέσμες $A.BCB_{1}P,\ B.AA_{0}A_{1}P$ έχουν την $AB\equiv BA$ ως κοινή ομόλογη ακτίνα τους, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $M_{0}\equiv AC\cap BA_{0}$ και $M\equiv AB_{1}\cap BA_{1}$ και $P\equiv AP\cap BP,$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #7

Τι τύχη ! Ξεφυλλίζοντας την "Γεωμετρία των Ιησουιτών" ( έκδοση 1952) , βρήκα το θέμα

στη σελίδα 759 , με αρίθμηση 1546 γ . Αν έχετε το αξεπέραστο αυτό βιβλίο , σπεύσατε !

#8

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Μαρ 05, 2023 9:40 pmΔίνεται τετράπλευρο ABCD. Στις προεκτάσεις των πλευρών AD και BC λαμβάνουμε τα σημεία ${{A}_{1}}$ και ${{B}_{1}}$ , ώστε να είναι $A{{A}_{1}}=B{{B}_{1}}$ . Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής M των $A{{B}_{1}}$ και $B{{A}_{1}}$ .

Ας δούμε μία άλλη διατύπωση της τεκμηρίωσης στην απόδειξη του Ορέστη πιο πάνω (#4#).

$\bullet$ Έστω $E,\ F,$ τυχόντα σημεία επί των ευθειών $AD,\ BC$ αντιστοίχως, προς το αυτό μέρος της ευθείας AB,

ώστε να είναι AE = BF

και έστω το σημείο $M\equiv AF\cap BE.$

Οι δια των σημείων $A,\ B,$ παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες $BC,\ AD$ αντιστοίχως, τέμνονται σημείο έστω

και θα αποδειχθεί ότι η ευθεία

είναι σταθερή ως ταυτιζόμενη με την διχοτόμο της σταθερής γωνίας $\angle APB.$

Έστω τα σημεία $Z\equiv BP\cap AF$ και $N\equiv AB\cap PM.$

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle ABZ$ με διατέμνουσα την ευθεία NMP,

σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε:

: Γεωμετρικός τόπος.; f 178_t 73445.PNG (20.89 KiB) Προβλήθηκε 1213 φορές

$\displaystyle \frac{NA}{NB}\cdot \frac{PB}{PZ}\cdot \frac{MZ}{MA} = 1\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{NA}{NB} = \frac{PZ}{PB}\cdot \frac{MA}{MZ}}\ \ \ , (1)$

Από $BZ\parallel AE\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{MA}{MZ} = \frac{AE}{BZ}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{MA}{MZ} = \frac{BF}{BZ}}\ \ \ ,(2)$ λόγω AE = BF.

Από $BF\parallel PA\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{BF}{PA} = \frac{BZ}{PZ}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{BF}{BZ} = \frac{PA}{PZ}}\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (2),\ (3)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{NA}{NB} = \frac{PA}{PZ}}\ \ \ ,(4)$

Από (4)

συμπεραίνεται ότι η ευθεία $PN\equiv PM$ ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας $\angle APB$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Επεκτείνοντας το πρόβλημα, το μεταβλητό σημείο $M\equiv AF\cap BE,$ διατρέχει ολόκληρη την ευθεία της διχοτόμου της σταθερής γωνίας $\angle APB,$ όταν τα σημεία $E\in AD,\ F\in BC$ με AE = BF,

διατρέχουν ολόκληρες τις ευθείες $AD,\ BC,$ αρκεί τα σημεία αυτά να κείνται προς το αυτό μέρος της ευθείας AB.

Κώστας Βήττας.

#9

Δείτε Εδώ πρόσφατη συζήτηση σε σχετικό πρόβλημα.

Κώστας Βήττας.

#10

Ένα χρήσιμο λήμμα για την αντιμετώπιση του προβλήματος.
Αν το ABDC

είναι παραλληλόγραμμο και τα σημεία E, K

κινούνται επί των CD, BD

αντίστοιχα έτσι ώστε ο λόγος $\frac{KB}{CE}$ να είναι σταθερός, τότε ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής

των

είναι μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο

.
Θα αποδείξουμε ότι ο λόγος των αποστάσεων του σημείου

από τις

(έστω $\alpha=MN, b=MT$ ) είναι σταθερός.
Θεωρούμε τα ύψη h_1=ZN

και

του παραλληλογράμμου και θα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις εμβαδών.
$(CEB)+(MKB)=(CKB)+(MEC) \Leftrightarrow CE\cdot h_1+KB\cdot(h_2-b)=KB\cdot h_2+CE\cdot(h_1-a)$
Επομένως $KB\cdot b=CE\cdot a\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{KB}{CE}$
Επομένως αν σε δύο ευθείες πάρουμε ίσα τμήματα AB=BC=CD

και

και οι παράλληλες από τα H, D

προς τις δύο ευθείες τέμνονται στο

, τότε τα σημεία τομής S, R, T

και

είναι συνευθειακά.

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση