Μεγάλες κατασκευές 101

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 101.png (12.27 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα

και από το μέσο

της

, το τμήμα $MN \perp BC$ . Η

τέμνει το

στο σημείο

και την

στο

.

Πως θα κατασκευάσουμε το αρχικό τρίγωνο , έτσι ώστε : BS = ST

;

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 2:17 pm Μεγάλες κατασκευές 101.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και από το μέσο

της , το τμήμα $MN \perp BC$ . Η τέμνει το στο σημείο και την στο .

Πως θα κατασκευάσουμε το αρχικό τρίγωνο , έτσι ώστε : ;

Τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα

το χωρίζω δια του σημείου

, σε μέσο κι άκρο λόγο . $\boxed{\frac{{DN}}{{NB}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ .

: Μεγάλες κατασκευές 101_κατασκευή.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

. Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Η κάθετη στην

στο σημείο

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Το $\vartriangle ABC$ είνει αυτό που θέλω .

Ανάλυση κι απόδειξη

Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Προφανώς αν $BD = x \Rightarrow DE = x\,\,,\,\,NC = y \Rightarrow ND = y$ . Ας πούμε και $EN = k \Rightarrow k = y - x$ .

Από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ADC$ με διατέμνουσα $\overline {BSM}$ έχω: $\dfrac{{AS}}{{SD}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 2y}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\,\,$ $\left( 1 \right)$ .

: Μεγάλες κατασκευές 101_Ανάλυση.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Επειδή , $\vartriangle BDS \approx \vartriangle BNM \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BN}} = \dfrac{{DS}}{{NM}} \Rightarrow \dfrac{x}{{x + y}} = \dfrac{{DS}}{{NM}}\,\,\left( 2 \right)$ . Διαιρώ κατά μέλη τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ κι έχω .

$\dfrac{{x + y}}{{x + 2y}} = \dfrac{{MN}}{{SA}} = \dfrac{{MT}}{{TS}} = \dfrac{k}{x} = \dfrac{{y - x}}{x}$ και άρα αν θέσω : $\boxed{y = ax}$ η προηγούμενη γίνεται:

$\dfrac{{x + y}}{{x + 2y}} = \dfrac{{y - x}}{x} \Rightarrow \dfrac{{x + ax}}{{x + 2ax}} = \dfrac{{ax - x}}{x} \Rightarrow \dfrac{{a + 1}}{{1 + 2a}} = \dfrac{{a - 1}}{1}$ , Δηλαδή : $\boxed{a = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ .

Παρατήρηση

Δεν είναι απαταίτητο να είναι ορθογώνιο το τρίγωνο στο , απλώς η γωνία της κορυφής να είναι σταθερή .

: Μεγάλες κατασκευές 101_τυχαία γωνία.png (20.86 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές

[/color][/i]

Μεγάλες κατασκευές 101

Μεγάλες κατασκευές 101

Re: Μεγάλες κατασκευές 101

Μέλη σε σύνδεση