Ακτινοσκόπηση

KARKAR · #1

: Ακτινοσκόπηση.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

Βρείτε την ακτίνα του κύκλου του παρατιθέμενου σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 16, 2023 12:04 pm Ακτινοσκόπηση.pngΒρείτε την ακτίνα του κύκλου του παρατιθέμενου σχήματος .

Το ύψος του τραπεζίου είναι $\displaystyle MN = BK = \sqrt {15}$

: Ακτινοσκόπηση.Κ.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} O{N^2} = {R^2} - \frac{9}{4} \hfill \\ \hfill \\ O{M^2} = {R^2} - \frac{{25}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow O{N^2} - O{M^2} = 4 \Leftrightarrow (ON - OM)MN = 4 \Leftrightarrow ON - OM = \frac{4}{{\sqrt {15} }},$

Απ' όπου προκύπτει $\displaystyle ON = \frac{{19}}{{2\sqrt {15} }}$ και $\displaystyle {R^2} = \frac{{361}}{{60}} + \frac{9}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{ R = 2\sqrt {\frac{{31}}{{15}}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 16, 2023 12:04 pm Ακτινοσκόπηση.pngΒρείτε την ακτίνα του κύκλου του παρατιθέμενου σχήματος .

Με $BE//AD \Rightarrow DE=3,BE=BC=4$ κι αν $BK \bot CD \Rightarrow EK=KC=1$ κι από Π.Θ

$BK= \sqrt{15}$ και πάλι με Π.Θ $BD= \sqrt{31}$

$(ABCD)=(ABD)+(BCD)\Rightarrow4 \sqrt{15}= \dfrac{12 \sqrt{31} }{4R} + \dfrac{20 \sqrt{31} }{4R} \Rightarrow R=2 \sqrt{ \dfrac{31}{15} }$

: ακτινοσκόπηση.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

abgd · #4

: aktina.png (48.19 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD

βρίσκουμε,

με τη βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος το ύψος $\upsilon$ ...

$\displaystyle{ \upsilon = \sqrt{15}}$

και με τη βοήθεια του θεωρήματος Πτολεμαίου το μήκος των διαγωνίων...

$\displaystyle{x=\sqrt{3\cdot5+4\cdot4}=\sqrt{31}}$ .

Στο τρίγωνο ACD

$\displaystyle{ 4x=2R\upsilon \Rightarrow R=2\sqrt{\frac{31}{15}}}$

#5

Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης.

: Ακτινοσκόπηση.ΙΙ.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το εκτός από εγγεγραμμένο είναι και περιγράψιμο σε κύκλο,

έστω Να δείξετε ότι τα μήκη των και είναι αντίστροφοι αριθμοί.

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 16, 2023 12:04 pm Ακτινοσκόπηση.pngΒρείτε την ακτίνα του κύκλου του παρατιθέμενου σχήματος .

Για το επιπλέον ερώτημα

$TL=\sqrt{31},IL=\dfrac{\sqrt{31}}{2},R=\dfrac{2\sqrt{31}}{\sqrt{15}}, OL^{2}=R^{2}-\dfrac{25}{4}\Rightarrow OL=\dfrac{11\sqrt{15}}{30}, r=\dfrac{\sqrt{15}}{2}, OI=r-\dfrac{11\sqrt{15}}{30}}\Rightarrow OI=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}=\dfrac{1}{r}$

#7

george visvikis έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 12:12 pm Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης.Ακτινοσκόπηση.ΙΙ.png

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το εκτός από εγγεγραμμένο είναι και περιγράψιμο σε κύκλο,

έστω Να δείξετε ότι τα μήκη των και είναι αντίστροφοι αριθμοί.

Μια σκέψη:

Το R ευρέθη, ήδη, παραπάνω. (Υπάρχει και τύπος για το R στα αμφιγράψιμα τετράπλευρα)

Το r βρίσκεται από τον τύπο Ε= τ r.

(Στα αμφιγράψιμα τετράπλευρα το εμβαδόν ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου των πλευρών τους.)

Η απόσταση των κέντρων βρίσκεται από το γνωστό, ως Fuss' theorem κ.λπ.

Ακτινοσκόπηση

Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Re: Ακτινοσκόπηση

Μέλη σε σύνδεση