Υπάρχουν σημεία

#1

Δίδεται τρίγωνο ABC

με $\widehat {BAC} > 90^\circ$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία

της πλευράς

για τα οποία , $M{A^2} = MB \cdot MC$ .

Κάθε είδους λύση δεκτή .

#2

Doloros έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 11:14 am Δίδεται τρίγωνο με $\widehat {BAC} > 90^\circ$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της πλευράς για τα οποία , $M{A^2} = MB \cdot MC$ .

Κάθε είδους λύση δεκτή .

Με $\displaystyle {\text{Stewart}},$ $\displaystyle {b^2}x + {c^2}(a - x) = A{M^2}a + ax(a - x) = 2ax(a - x),$ που γράφεται:

: Υπάρχουν σημεία.png (6.8 KiB) Προβλήθηκε 3145 φορές

$\displaystyle 2a{x^2} + ({b^2} - {c^2} - 2{a^2})x + a{c^2} = 0.$ Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι:

$\displaystyle \Delta = {({b^2} - {c^2})^2} + 4{a^2}({a^2} - {b^2} - {c^2})$ κι επειδή $\displaystyle \widehat A > 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2},$

άρα $\Delta>0,$ δηλαδή η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες, οπότε δύο είναι και οι θέσεις του

#3

Αλλιώς:

Ας είναι $\displaystyle{B(0,0), C(1,0), A(x,y)}$ .

Η συνθήκη $\displaystyle{\angle BAC>90^o}$ γράφεται $\displaystyle{BC^2>AB^2+AC^2 \iff x^2+y^2-x<0.}$

Ας είναι $\displaystyle{M(m,0)}$ .

Η συνθήκη $\displaystyle{MA^2=MB\cdot MC}$ γράφεται, αφού γίνουν οι πράξεις,

$\displaystyle{2m^2-(2x+1)m+x^2+y^2=0.}$

Για την συνάρτηση $\displaystyle{f(m)=2m^2-(2x+1)m+x^2+y^2}$ έχουμε $\displaystyle{f(0)=x^2+y^2>0, f\left(\frac{1}{2}\right)=x^2+y^2-x<0, f(1)=(x-1)^2+y^2>0}$ , άρα

η $\displaystyle{f}$ έχει δύο ρίζες (και μάλιστα, λόγω βαθμού, μοναδικές).

KARKAR · #4

: δύο λύσεις.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 3139 φορές

Η εξίσωση γράφεται : $x^2+h^2=(m+x)(k-x)\Leftrightarrow 2x^2-(k-m)x+h^2-mk=0$ .

Είναι : $\Delta=k^2+m^2+6km-8h^2$ . Αλλά : $h^2<mk \Leftrightarrow 8mk>8h^2$ , επομένως :

$\Delta>0$ , αφού : $k^2+m^2+6mk\geq 8mk$ .

Altrian · #5

Doloros έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 11:14 am Δίδεται τρίγωνο με $\widehat {BAC} > 90^\circ$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της πλευράς για τα οποία , $M{A^2} = MB \cdot MC$ .

Κάθε είδους λύση δεκτή .

Χωρίς λόγια

KARKAR · #6

Εδώ ταιριάζει ο μύθος του Αισώπου : Εγώ για ίχνη λιονταριού έψαχνα , όχι το λιοντάρι !

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Doloros έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 11:14 am Δίδεται τρίγωνο με $\widehat {BAC} > 90^\circ$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της πλευράς για τα οποία , $M{A^2} = MB \cdot MC$ .

Κάθε είδους λύση δεκτή .

Έστω Ο το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου ABC

Επειδή $\angle A>90^0$ ο κύκλος διαμέτρου

θα τέμνει την

σε δυο σημεία D,E

που είναι τα ζητούμενα

: υπάρχουν σημεία.png (16.65 KiB) Προβλήθηκε 3066 φορές

#8

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προέκταση του προβλήματος του Νίκου, μετά τις κομψές λύσεις που δόθηκαν.
Βρίσκω ότι η συνθήκη, η γωνία να είναι αμβλεία, είναι ικανή, αλλά δεν είναι αναγκαία.
Με τα λιγότερο κομψά, (όπως λένε κάποιοι...) εργαλεία της Αναλυτικής και με μελέτη Τριωνύμου, βρίσκω περιπτώσεις όπου για ορθή ή οξεία γωνία, να ισχύει η συνθήκη.

: 18-03-2023 Γεωμετρία.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 3064 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

, με

. Έστω

.

$\displaystyle M{A^2} - MB \cdot MC = {t^2} + {a^2} - \left( {t + b} \right) \cdot \left( {c - t} \right) = 2{t^2} + \left( {b - c} \right)t + {a^2} - bc$

Tο τριώνυμο $\displaystyle y = 2{t^2} + \left( {b - c} \right)t + {a^2} - bc$ έχει $\displaystyle \Delta = {\left( {b - c} \right)^2} - 8{a^2} + 8bc = {b^2} + {c^2} + 6bc - 8{a^2}$ .

Είναι $\displaystyle B{C^2} - A{B^2} - A{C^2} = {\left( {c + b} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {c^2}} \right) = 2\left( {bc - {a^2}} \right)$

Οπότε, αν $\widehat {BAC} > {90^\circ }$ , τότε $\displaystyle {b^2} + {c^2} \ge 2bc > 2{a^2}$ , άρα $\Delta > 0$ και το τριώνυμο έχει δύο ρίζες.

Αν $\widehat {BAC} = {90^\circ }$ , τότε $bc = {a^2}$ , οπότε $\displaystyle \Delta = {b^2} + {c^2} - 2bc = {\left( {b - c} \right)^2}$ , άρα ανν AB = AC

το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα, αλλιώς δύο.

Ενώ αν $\widehat {BAC} < {90^\circ }$ τότε $\displaystyle {a^2} > bc$ άρα $\displaystyle \Delta < {\left( {b - c} \right)^2}$ .

Από την τελευταία συνθήκη, προκύπτει ότι υπάρχει περίπτωση το τριώνυμο να έχει ρίζες. Π.χ. για b =2, c=1, a=1,45

, τότε $\displaystyle \Delta > 0$ , ενώ $\displaystyle bc - {a^2} < 0$ , δηλαδή ABC

οξυγώνιο.

#9

Altrian έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 8:13 pm
Χωρίς λόγια

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 10:59 pm
Έστω Ο το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου

Επειδή $\angle A>90^0$ ο κύκλος διαμέτρου θα τέμνει την σε δυο σημεία που είναι τα ζητούμενα

Υπάρχουν σημεία

Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Re: Υπάρχουν σημεία

Μέλη σε σύνδεση