Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}$

Manolis Petrakis · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 8:39 am Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}$

Κατ' αρχάς από την ανισότητα Nesbitt:
$\dfrac{16}{27} \left ( \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \right )^3 \geq {\dfrac{16}{27} \left ( \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \right )\cdot \left (\dfrac{3}{2} \right )^{2}=\dfrac{4}{3}\cdot \left (\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \right )$

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\dfrac{1}{8}\geq\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι:

$\dfrac{4}{3}\cdot \left (\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \right )+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{\sum_{cyc} a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \dfrac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 8\sum_{cyc} a(a+b)(a+c) +24abc\geq 15(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 8(a^3+b^3+c^3) +18abc\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

Η οποία αποδεικνύεται από τις δύο παρακάτω σχέσεις με πρόσθεση κατά μέλη.
$7(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\ (Schur)$
$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\ (AM-GM)$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση