Τριγωνομετρική απόδειξη 3

Henri van Aubel · #1

Καλημέρα!

Έστω ημικύκλιο κέντρου

και ας είναι M,N

σημεία επί της διαμέτρου

εκατέρωθεν του

, τέτοια ώστε OM=ON

και

πλησιέστερο στο

. Θεωρούμε

τυχαίο σημείο του ημικυκλίου και ονομάζουμε $\angle ACM=\theta ,\angle MCO=\omega ,\angle OCN=y,\angle BCN=x$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{\sin \left ( x+\omega \right )\cdot \sin \left ( x+y \right )-\sin x\cdot \cos \theta }{\cos \left ( x+\omega \right )\cdot \cos \left ( x+y \right )-\cos x\cdot \sin \theta }=\frac{\tan ^{2}\left ( x+y \right )\cdot \tan \theta}{\tan x}$

#2

Henri van Aubel έγραψε: Τετ Μαρ 29, 2023 9:29 am Καλημέρα!

Έστω ημικύκλιο κέντρου και ας είναι σημεία επί της διαμέτρου εκατέρωθεν του , τέτοια ώστε και πλησιέστερο στο . Θεωρούμε τυχαίο σημείο του ημικυκλίου και ονομάζουμε $\angle ACM=\theta ,\angle MCO=\omega ,\angle OCN=y,\angle BCN=x$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{\sin \left ( x+\omega \right )\cdot \sin \left ( x+y \right )-\sin x\cdot \cos \theta }{\cos \left ( x+\omega \right )\cdot \cos \left ( x+y \right )-\cos x\cdot \sin \theta }=\frac{\tan ^{2}\left ( x+y \right )\cdot \tan x}{\tan \theta }$

Φέρνω $ND\bot BC, ME\bot CA,$ οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα EAM, DNB

είναι ίσα. Θέτω EA=DN=m, ME=DB=k

και είναι $\dfrac{k}{m}=\dfrac{CD}{CE}.$

: Τριγωνομετρική απόδειξη 3.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Επειδή οι γωνίες $x+\omega, y+\theta$ είναι συμπληρωματικές το α' μέλος γράφεται:

$\displaystyle A = \frac{{2\cos (y + \theta )\sin (x + y) - 2\sin x\cos \theta }}{{2\sin (y + \theta )\cos (x + y) - 2\sin \theta \cos x}}$

$\displaystyle A = \frac{{\sin (x + 2y + \theta ) + sin(x - \theta ) - \sin (x + \theta ) - \sin (x - \theta )}}{{\sin (x + 2y + \theta ) + \sin (\theta - x) - \sin (\theta + x) - \sin (\theta - x)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{A=1}$

Στο β' μέλος αλλάζω τη θέση των $\displaystyle \tan x,\tan \theta$ και γράφεται $\displaystyle B = \frac{{{{\tan }^2}(x + y) \cdot \tan \theta }}{{\tan x}}$

$\displaystyle {\tan ^2}(x + y) = {\tan ^2}B = \frac{{{m^2}}}{{{k^2}}} = \frac{{m \cdot CE}}{{k \cdot CD}} = \frac{{\tan x}}{{\tan \theta }} \Leftrightarrow$ $\boxed{B=1}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Henri van Aubel · #3

Καλό μεσημέρι Γιώργο! Ωραία λύση, έτσι το έλυσα κι εγώ, φέρνοντας κάθετες! Είχαν μπει ανάποδα οι $\tan x,\tan \theta$ στο δεύτερο μέλος, διορθώθηκε.

Τριγωνομετρική απόδειξη 3

Τριγωνομετρική απόδειξη 3

Re: Τριγωνομετρική απόδειξη 3

Re: Τριγωνομετρική απόδειξη 3

Μέλη σε σύνδεση