Βάλε μέσο για το μέσο

#1

: Βάλε μέσο για το μέσο.png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1243 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

. Γράφουμε τον περιγεγραμμένο του κύκλο και έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Η ευθεία του ύψους

τέμνει τη

στο

.

Η ευθεία του ύψους

τέμνει την ευθεία

στο

.

Δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από το μέσο του

.

Κάθε λύση ευπρόσδεκτη.
Νίκος

giannimani · #2

: mesopng_Page1.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Έστω $T_{1}$ , $T_{2}$ τα συμμετρικά του

ως προς τα σημεία

,

αντίστοιχα. Προφανώς, $T_{1}T_{2} \parallel ED$ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία $T_{1}$ , $T_{2}$ , και

ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε το πρόβλημα θα έχει αποδειχτεί (στο $\triangle{T_{2}TT_{1}}$ τα

,

μέσα των $TT_{2}$ , $TT_{1}$ και $ED \parallel T_{2}T_{1} \parallel T_{2}G$ . Επομένως η

θα περάσει και από το μέσο

του

).
Αρχικά αποδεικνύουμε ότι τα σημεία

, $T_{2}$ ,

, και

είναι ομοκυκλικά. Αρκεί

$\angle{BT_{2}C}=\angle{BGC}$ .

Είναι
$\angle{BT_{2}C}=90^{\circ}-\angle{T_{2}BE} = 90^{\circ}-\angle{EBT}= 90^{\circ}-\angle{ABZ}= 90^{\circ}-\angle{ACZ}=90^{\circ}-\angle{DCZ}=\angle{DGC}=\angle{BGC}$

Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι $T_{2}G \parallel ED$ . Αρκεί

$\angle{GT_{2}E}=\angle{DEC}$ (*)

Είναι
$\angle{GT_{2}E}=\angle{GT_{2}C}=\angle{GBC}=\angle{DEC}$ .

Υ.Γ Έγινε η διόρθωση (*) κατόπιν υπόδειξης του Νίκου.

Henri van Aubel · #3

Λίγο διαφορετικά από τον Γιάννη και πολύ άκυρος χρονικά.

Έστω $BD\cap EC=R$ και ας είναι

το μέσο του τμήματος TG.

Είναι τετριμμένες οι σχέσεις $\displaystyle\frac{ER}{ET}=\frac{ER}{EB}\cdot \frac{EB}{ET}=\cot A\cdot \tan C$ και $\displaystyle\frac{GD}{DR}=\frac{GD}{DC}\cdot \frac{DC}{DR}=\cot C\cdot \tan A.$

Οπότε $\displaystyle\frac{ER}{ET}\cdot \frac{GD}{DR}\cdot \frac{TM}{GM}=\cot A\tan C\tan A\cot C=1$ και από αντίστροφο Μενέλαο E,D,M

συνευθειακά.

Henri van Aubel · #4

Αλλιώς.

Έστω $BD\cap EC=R$ τότε είναι ξεκάθαρες οι ομοιότητες $BET\sim GDC$ και $BRE\sim DRC$ από τις οποίες $\displaystyle\frac{GD}{DR}\cdot \frac{ER}{ET}=\frac{GD}{DC}\cdot \frac{DC}{DR}\cdot \frac{ER}{EB}\cdot \frac{EB}{ET}=1$ από όπου προκύπτει ότι η

διχοτομεί το TG.

Βάλε μέσο για το μέσο

Βάλε μέσο για το μέσο

Re: Βάλε μέσο για το μέσο

Re: Βάλε μέσο για το μέσο

Re: Βάλε μέσο για το μέσο

Μέλη σε σύνδεση