Ταυτότητες και υπολογισμοί

#1

Για να φανεί η χρησιμπότητα των ταυτοτήτων, αρκετά διδακτική είναι και η παρακάτω εφαρμογή :

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

$\displaystyle A = \sqrt {1001^2-2001} + \sqrt {1001^2+2003 }$

Μπάμπης

nonlinear · #2

miliotis ektoras · #3

Tο απαντω υπεραναλυτικα
$A=\sqrt{1001^{2}-2001} +\sqrt{1001^{2}+2003} =\sqrt{1001^{2}-2002+1}+\sqrt{1001^{2}+2002+1}=\sqrt{(1001-1)^{2}}+\sqrt{(1001+1)^{2}}=1000+1OO2=2002$

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Δευ Σεπ 20, 2010 10:24 am Για να φανεί η χρησιμπότητα των ταυτοτήτων, αρκετά διδακτική είναι και η παρακάτω εφαρμογή :

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

$\displaystyle A = \sqrt {1001^2-2001} + \sqrt {1001^2+2003 }$

Μπάμπης

Κάτι παρεμφερές .

Στο πρώτο ριζικό , $x = \sqrt {{{1001}^2} - 2001}$ θέτω , a = 1000 > 0

κι έχω:

$x = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} - \left( {2a + 1} \right)} = \sqrt {{a^2} + 2a + 1 - 2a - 1} = a$ $\left( 1 \right)$

Στο δεύτερο ριζικό , $y = \sqrt {{{1001}^2} + 2003}$ θέτω, b = 1002 > 0

κι έχω:

$y = \sqrt {{{\left( {b - 1} \right)}^2} + 2b - 1} = \sqrt {{b^2} - 2b + 1 + 2b - 1} = b$ έτσι και λόγω της $\left( 1 \right)$ ,

A = x + y = a + b = 1000 + 1002 = 2002

.

Παπαδόπουλος Κώστας · #5

Ένα επίσης ωραίο(εύκολο) πρόβλημα στο οποίο φαίνεται η χρησιμότητα των ταυτοτήτων είναι το εξής ( συγκεκριμένα είναι από ένα βιβλίο του κ. Στεργίου του οποίου τα βιβλία προσωπικά όχι μόνο με έχουν κάνει να αγαπήσω περισσότερο τα μαθηματικά αλλά έχουν συμβάλλει στο να σκέφτομαι ορθά και δημιουργικά στην καθημερινότητά μου. Για αυτό θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για τις υπέροχες στιγμές που μας χαρίζει στον κόσμο των μαθηματικών διαγωνισμών

!):

ΑΣΚΗΣΗ
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1331 είναι τέλειος κύβος.

#6

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: Σάβ Ιουν 24, 2023 1:53 pm ΑΣΚΗΣΗ
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1331 είναι τέλειος κύβος.

Ευχάριστο που ασχολήσαι με Μαθηματικά. Ας σημειώσω όμως ότι για την λύση της άσκησης δεν χρειάζονται ταυτότητες. Είναι μάλλον απλούστατη άσκηση και δεν χρειάζεται να κάνουμε τα εύκολα,δύσκολα.

Ένας τρόπος να σκεφτούμε: Σ'ίγουρα ο ζητούμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος του

αφού

. Πρέπει να είναι περιττός και δεν μπορεί να λήγει σε 3, 5, 7, 9

. Μένει το

. Και λοιπά.

Παπαδόπουλος Κώστας · #7

Συμφωνώ απόλυτα κύριε Μιχάλη απλώς θα μπορούσαμε να στηριχτούμε και στην ταυτότητα $\left (a + b \right )^{3}$ δηλαδή να πούμε ότι
1331= 1000 + 300 + 30 + 1 $= 10^{3} + 3\cdot 10^{2} + 3\cdot 10 + 1 = \left ( 10+1 \right )^{3}= 11^{3}$

Henri van Aubel · #8

Στην άσκηση του πολύ ευγενικού μαθητή Κώστα, μπορούμε να πούμε ότι φανερά ο ζητούμενος αριθμός λήγει σε

και είναι μικρότερος του

αφού $21^{3}> 20^{3}> 1331$ και μεγαλύτερος του

αφού $10^{3}< 1331.$ Οπότε μας απομένει μόνο το 11.

Πράγματι, είναι $11^{3}=\left ( 10+1 \right )^{3}=10^{3}+3\cdot 10^{2}\cdot 1+3\cdot 10\cdot 1^{2}+1^{3}=1331$

Πολύ διδακτική πάντως η ασκησούλα του κύριου Μπάμπη για τα παιδιά !

#9

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: Σάβ Ιουν 24, 2023 2:35 pm Συμφωνώ απόλυτα κύριε Μιχάλη απλώς θα μπορούσαμε να στηριχτούμε και στην ταυτότητα $\left (a + b \right )^{3}$ δηλαδή να πούμε ότι
1331= 1000 + 300 + 30 + 1 $= 10^{3} + 3\cdot 10^{2} + 3\cdot 10 + 1 = \left ( 10+1 \right )^{3}= 11^{3}$

Αντίστροφα τώρα, και αρκετά τολμηρά, θα μπορούσαμε να ζητήσουμε από τους μαθητές να 'ανακαλύψουν' την ταυτότητα, δίνοντας τους δηλαδή την παραπάνω ισότητα για τον 1331

... να τους ζητήσουμε να βρουν μία 'γενικότερη ισότητα' για τον (a+b)^3

... χρησιμοποιώντας τις χαμηλές δυνάμεις των

και

: στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι δυνάμεις αυτές είναι αρκετά ορατές ( 1000, 100, 10

) οπότε ... κάποιοι κάτι μπορεί να δουν!

[Εννοείται ότι θα έχει προηγηθεί η ταυτότητα για τον (a+b)^2

, που μπορεί βεβαίως να αποδειχθεί άνετα και γεωμετρικά, κλπ]

Ταυτότητες και υπολογισμοί

Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Re: Ταυτότητες και υπολογισμοί

Μέλη σε σύνδεση