Εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση
$3^{x-1}+3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}=4,\ x\in\mathbb{R}$

Djimmakos · #2

Mάλλον θα πω κάτι κουφό, τουλάχιστον η προσπάθεια μετράει

Στο σχολείο τουλάχιστον, μας μαθαίνουνε ότι κάθε ρίζα της μορφής

$\sqrt[a]{b}$ με b>0 και α φυσικό αριθμό γράφεται στη μορφή ${b}^{\frac{1}{a}}$ . Οπότε (λογικά) όταν έχουμε έναν αριθμό υψωμένο σε έναν εκθέτη της μορφής 1/α πρέπει ο α να είναι φυσικός. Τώρα θα μου πείτε ότι μπορούμε να γράψουμε το 4/3 σαν εκθέτη και να το έχουμε στη μορφή 1/(3/4). Εδώ δεν ξέρω τι να απαντήσω

. Οπότε τώρα στην άσκηση μας πρέπει η τρίτη ρίζα του χ να είναι φυσικός, δηλαδή το χ να είναι 1, 27, 81 κτλ. Όπως για x=27,81 ο πρώτος όρος του πρώτου μέλους είναι μεγαλύτερος του 4, οπότε ο δεύτερος πρέπει να είναι αρνητικός που είναι άτοπο. Άρα μόνη λύση είναι το x=1 που την επαληθεύει κιόλας.

mathxl · #3

Djimmakos έγραψε: $\sqrt[a]{b}$ με b>0 και α φυσικό αριθμό γράφεται στη μορφή ${b}^{\frac{1}{a}}$ . Οπότε (λογικά) όταν έχουμε έναν αριθμό υψωμένο σε έναν εκθέτη της μορφής 1/α πρέπει ο α να είναι φυσικός. .

Στην αμέσως επόμενη παράγραφο, κάνεις όμως και δυνάμεις με άρρητο εκθέτη, οι οποίες έχουν ρητές προσεγγίσεις (εκθέτη).
Αν ισχύει αυτό που λες, τι μπορούμε να πούμε για την δύναμη $\displaystyle{{2^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}}$ ;
Αυτό που έγραψες ισχύει όταν γνωρίζουμε ότι η βάση είναι θετικός αριθμός και ο εκθέτης ρητός. Δηλαδή όταν το b>0 και α ακέραιος θετικός (οπ'ότε φυσικός) ή α ακέραιος αρνητικός (οπότε το - το βάζουμε στον αριθμητή του εκθέτη και το -α γίνεται τάξη του ριζικού)

Djimmakos · #4

Α οκ ,κατάλαβα.

Τώρα όμως δεν μπορούμε να πούμε ότι ο εκθέτης 1/τρίτη ρίζα του χ δεν μπορεί να είναι άρρητος αλλά ούτε και ρητός της μορφής α/β με α διάφορο του 1 γιατί τότε όλος ο δεύτερος όρος θα ήταν άρρητος, οπότε δε θα μπορούσε το άθροισμα δύο άρρητων ( ή ενός ρητού και ενός άρρητου) να είναι ρητός; Οπότε πάλι καταλήγουμε στο x=1

mathxl · #5

Δες το άθροισμα αυτών των δύο άρρητων
$\displaystyle{a = \sqrt 3 ,b = 4 - \sqrt 3 }$
Η σκέψη σου είναι πολύ καλή θέλει λίγο παραπάνω δέσιμο.

kostas_zervos · #6

Για x>0.
Έστω η $f(x)=3^{x-1}+3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}},x>0$
Παρατηρουμε ότι f(1)=4.
$f'(x)=\frac{ln3}{3\sqrt[3]{x^4}}\left(3^{x}\cdot \sqrt[3]{x^4}-3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}\right)$
Αν $g(x)=3^{x}\cdot \sqrt[3]{x^4}-3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$
Τότε $g'(x)=3^{x}\cdot ln3 \cdot \sqrt[3]{x^4}+3^{x-1} \cdot \sqrt[3]{x}+3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}\cdot \frac{ln3}{3\sqrt[3]{x^4}}>0$ για κάθε x>0.
Άρα η g είναι γνησίως άξουσα στο $\left(0,+\propto \right)$
Επίσης παρατηρούμε ότι g(1)=0.Άρα για x>1 , έχουμε g(x)>g(1) και επομένως f'(x)>0

και για 0<x<1 έχουμε έχουμε g(x)<g(1) και επομένως f'(x)<0

. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(1,+\propto \right)$ επομένως για x>1 , f(x)>f(1)=4 και γνησίως φθίνουσα στο (0,1) άρα

: mathematica3.png (3.62 KiB) Προβλήθηκε 981 φορές

για 0<x<1 έχουμε f(x)>f(1)=4 .
Άρα η μοναδική λύση της f(x)=4 , x>0 είναι η x=1.

Για x<0:
Αν $h(x)=3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$ , τότε η h είναι γνησιώς φθίνουσα στο $\left(-\propto ,0 \right)$ . Άρα
$h(x)<\lim_{x\rightarrow -\propto }h(x)=3^0=1\Leftrightarrow 3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}<1$ και $3^{x-1}<\frac{1}{3}$ .Άρα $3^{x-1}+3^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}<1+\frac{1}{3}<4$ .

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση