Ομολογία

KARKAR · #1

: Ομολογία.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Σημείο

κινείται στην πλευρά

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

. Η προέκταση

της

, τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

, ενώ οι προεκτάσεις των

AP , BC

, τέμνονται στο σημείο

. Δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{BC}{CT}$ .

Henri van Aubel · #2

Από θ . διχοτόμου στο APC

έχουμε $\displaystyle \frac{AS}{SC}=\frac{AP}{PC}$

Όμως $\displaystyle \angle ATC=60^\circ-\angle PAC=\angle PCA\Rightarrow APC\sim ACT\Rightarrow \frac{AC}{CT}=\frac{AP}{PC}$

Οπότε , τελικά $\displaystyle \frac{AS}{SC}=\frac{AC}{CT}=\frac{BC}{CT}$ κλπ.

Θαναση, εμπνεύστηκες από ένα ερώτημα που έβαλα σε μια άλλη άσκηση ;

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 7:00 am Ομολογία.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου . Η προέκταση

της , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο , ενώ οι προεκτάσεις των

, τέμνονται στο σημείο . Δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{BC}{CT}$ .

Με πλευρά του ισοπλεύρου έστω ,

, από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ACT$ με διατέμνουσα $\overline {BST}$ : $\dfrac{{AS}}{{SC}} = \dfrac{{BT \cdot PA}}{{a \cdot TP}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Από την ομοιότητα των , $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle CPT$ , $a \cdot TP = CP \cdot BT\,\,\left( 2 \right)$ και έτσι η $\left( 1 \right)$ γράφεται:

: Ομολογία.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

$\dfrac{{AS}}{{SC}} = \dfrac{{BT \cdot PA}}{{BT \cdot CP}} = \dfrac{{PA}}{{CP}}\,\,\left( 3 \right)$ . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι: $\dfrac{{PA}}{{CP}} = \dfrac{{BC}}{{CT}} \Leftrightarrow \dfrac{{PA}}{{CP}} = \dfrac{{AC}}{{CT}}$ .

Αλλά η πιο πάνω ισχύει γιατί $\vartriangle ACT \approx \vartriangle APC$ .

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 7:00 am Ομολογία.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου . Η προέκταση

της , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο , ενώ οι προεκτάσεις των

, τέμνονται στο σημείο . Δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{BC}{CT}$ .

: Ομολογία_new.png (20.55 KiB) Προβλήθηκε 958 φορές

$FC//BP,\,\,\vartriangle ACT = \vartriangle CBF$ το ζητούμενο φανερό .

Henri van Aubel · #5

Doloros έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 8:51 am
KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 7:00 am Ομολογία.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου . Η προέκταση

της , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο , ενώ οι προεκτάσεις των

, τέμνονται στο σημείο . Δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{BC}{CT}$ .
Ομολογία_new.png

Φανταστικός !

KARKAR · #6

Henri van Aubel έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 8:04 am Θανάση, εμπνεύστηκες από ένα ερώτημα που έβαλα σε μια άλλη άσκηση ;

Προφανώς !

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 26, 2023 7:00 am Ομολογία.pngΣημείο κινείται στην πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου . Η προέκταση

της , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο , ενώ οι προεκτάσεις των

, τέμνονται στο σημείο . Δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{BC}{CT}$ .

Με

το

προφανώς είναι εγράψιμμο,άρα $\angle QCS=60^0$ και το τρίγωνο QSC

είναι ισόπλευρο

Έτσι $\dfrac{AS}{SC} = \dfrac{AS}{SQ} = \dfrac{AC}{CT}= \dfrac{BC}{CT}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

: Ομολογία.png (212.27 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Ομολογία

Ομολογία

Re: Ομολογία

Re: Ομολογία

Re: Ομολογία

Re: Ομολογία

Re: Ομολογία

Re: Ομολογία

Μέλη σε σύνδεση