Ταυτότητα

Συντονιστής: stranton

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ: Δημοσιεύσεις: 3714; Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am; Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ταυτότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 06, 2023 9:19 pm

ksofsa έγραψε: Κυρ Αύγ 06, 2023 12:40 pm Καλησπέρα.

Βρίσκω και προτείνω προς απόδειξη (ή απόρριψη) την εξής γενίκευση:

$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a^{2n-1}+b^{2n-1}+c^{2n-1})}{2}+\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^{2n-2}+b^{2n-2}+c^{2n-2})}{3}$

Φυσικά και ισχύει.
Και γενικότερα η
$a^{n+3}+b^{n+3}+c^{n+3}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})}{2}+\dfrac{(a^3+b^3+c^3)(a^{n}+b^{n}+c^{n})}{3}$
Η απόδειξη πάει ως εξής
Τα a,b,c

είναι ρίζες του πολυωνύμου
$x^3-\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{2}x-\dfrac{(a^3+b^3+c^3)}{3}=0$
Αρα είναι
$a^{n+3}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{2}a^{n+1}+\dfrac{(a^3+b^3+c^3)}{3}a^n$
κλπ
Χρήσιμες είναι και οι
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities

Ετικέτες:

άλγεβρα

Α-Λυκείου

ταυτότητα

Απάντηση

21 δημοσιεύσεις

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης