6210001000

#1

Πράγματι το 0 εμφανίζεται 6 φορές, το 1 εμφανίζεται 2 φορές, το 2 εμφανίζεται 1 φορά, το 3 εμφανίζεται 0 φορές, κλπ Τα ψηφία δηλαδή του δεκαψήφιου αριθμού 6210001000 καταγράφουν την συχνότητα εμφάνισης των ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 -- όπως ακριβώς δείχνει χωρίς λόγια και το συνημμένο.

Το ερώτημα μου -- με το οποίο δεν ασχολήθηκα ακόμη, για να είμαι ειλικρινής -- είναι πως μπορεί κάποιος να 'οδηγηθεί' σ' αυτήν την μοναδική (υποθέτω) λύση, χωρίς ενστικτώδεις 'δοκιμές' δηλαδή.

: ψηφιακή-συχνότητα.png (2.05 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

#2

Έστω $\overline{a_0a_1 \cdots a_9}$ ο αριθμός. Πρέπει $a_0 + a_1 + \cdots + a_9 = 10$ . Ισχυρίζομαι επίσης ότι $a_0 \geqslant 5$ . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση τουλάχιστον τρεις από τους αριθμούς $a_3,a_4,\ldots,a_9$ , έστω οι a_i,a_j,a_k

, είναι μη μηδενικοί. Άρα οι i,j,k

εμφανίζονται από τουλάχιστον μία φορά που σημαίνει ότι κάποιος αριθμός εμφανίζεται ακριβώς

φορές, κάποιος άλλος

και κάποιος άλλος

. Αυτό είναι άτοπο αφού $i+j+k \geqslant 3+4+5 > 10$ .

Περίπτωση 1: a_0 =5

Πρέπει $a_5 \geqslant 1$ . Αν $a_5 \geqslant 2$ , τότε τουλάχιστον δυο αριθμοί εμφανίζονται από

φορές. Αυτοί πρέπει να είναι οι

και

που σίγουρα εμφανίζονται και ο αριθμός είναι ο 5000050000

άτοπο. Άρα a_5 = 1

. Ομοίως πρέπει $a_6 = \cdots = a_9 = 0$ . Δηλαδή πρέπει να έχουμε τον αριθμό $\overline{5a_1a_2a_3a_410000}$ . Αναγκαστικά πρέπει $a_1 \geslant 1$ . Αν όμως a_1 = 1

, τότε θα είχαμε τουλάχιστον δύο άσσους, άτοπο. Άρα $a_1 \geqslant 2$ . Αν $a_1 \geqslant 3$ τότε θα είχαμε τουλάχιστον τρεις άσσους και τότε $5+a_1 + \cdots + a_9 \geqslant 8 + a_2 + \cdots + a_9 \geqslant 8+3 = 11$ , άτοπο. Άρα a_1 = 2

και ο αριθμός είναι ο $\overline{52a_2a_3a_410000}$ . Επειδή a_2 + a_3 + a_4 = 2

. Αλλά από τους a_2,a_3,a_4

ο ένας είναι ίσος με

ενώ ακριβώς ένας από τους άλλους δύο είναι ίσος με

, άτοπο.

Περίπτωση 2: a_0 =6

Όπως και στην Περίπτωση 1 πρέπει a_6 = 1

και $a_5 = a_7 = \cdots = a_9 = 0$ . Δηλαδή πρέπει να έχουμε τον αριθμό $\overline{6a_1a_2a_3a_401000}$ . Όπως και στην Περίπτωση 1 πρέπει a_1 = 2

και ο αριθμός είναι ο $\overline{62a_2a_3a_401000}$ πρέπει a_2+a_3+a_4 = 1

με $a_2 \geqslant 1$ άρα ο αριθμός είναι ο 6210001000

.

Περίπτωση 3: a_0 =7

Όπως και στην Περίπτωση 1 πρέπει a_7 = 1

και

. Δηλαδή πρέπει να έχουμε τον αριθμό $\overline{7a_1a_2a_3000100}$ . Όπως και στην Περίπτωση 1 πρέπει a_1 = 2

και ο αριθμός είναι ο $\overline{72a_2a_3-00100}$ πρέπει a_2+a_3+a_4 = 0

αλλά $a_2 \geqslant 1$ , άτοπο.

Περίπτωση 4: a_0 =8

αριθμοί πρέπει να είναι ίσοι με

. Αλλά οι

δεν είναι. Άρα πρέπει να έχουμε τον αριθμό 8000000020

, άτοπο.

Περίπτωση 5: a_0 =9

Απορρίπτεται διότι

από τους $a_1,\ldots,a_8$ πρέπει να είναι ίσοι με

, άτοπο.

6210001000

6210001000

Re: 6210001000

Μέλη σε σύνδεση