Χρυσό ορθογώνιο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.

: 9-9 Χρυσό ορθογώνιο.png (161.95 KiB) Προβλήθηκε 1856 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το

μέσον της

κι΄ο κύκλος των D,A,H

τέμνει την

στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα.

Θέτω BC=x

, άρα $\displaystyle tan \angle AND=tan \angle AHD=\frac{AD}{AH}=\frac{2}{k}\left ( 1 \right )$

Φέρνω $DQ\perp AC(Q\in AC)$ και έχω $\displaystyle tan \angle AND=\frac{DQ}{QN}=\frac{DQ}{CQ-CN}.$

Όμως $\displaystyle \frac{CN}{AC}=\frac{1}{6-2k}\Rightarrow CN=\frac{x\sqrt{k^{2}+1}}{6-2k}.$

Εύκολα $\displaystyle \frac{DQ}{x}=\frac{DC}{AC}=\frac{k}{\sqrt{k^{2}+1}}\Leftrightarrow DQ=\frac{kx}{\sqrt{k^{2}+1}}.$

Επίσης $\displaystyle \frac{CQ}{kx}=\frac{DC}{AC}=\frac{k}{\sqrt{k^{2}+1}}\Leftrightarrow CQ=\frac{k^{2}x}{\sqrt{k^{2}+1}}.$

Επομένως $\displaystyle tan \angle AND=\frac{\displaystyle \frac{kx}{\sqrt{k^{2}+1}}}{\displaystyle \frac{k^{2}x}{\sqrt{k^{2}+1}}-\frac{x\sqrt{k^{2}+1}}{6-2k}}=\frac{k}{\displaystyle k^{2}-\frac{k^{2}+1}{6-2k}}=\frac{k}{\displaystyle \frac{6k^{2}-2k^{3}-k^{2}-1}{6-2k}}.$

Πιο απλή μορφή: $\displaystyle tan \angle AND=\frac{k\left ( 6-2k \right )}{-2k^{3}+5k^{2}-1}\left ( 2 \right )$

Από (1),(2): $\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{k\left ( 3-k \right )}{-2k^{3}+5k^{2}-1}\Leftrightarrow -2k^{3}+5k^{2}-1=3k^{2}-k^{3}.$

Οπότε $k^{3}-2k^{2}+1=0.$

Είναι δηλ. $( k-1 )( k^{2}-k-1 )=0$ και αφού $k\neq 1$ έπεται ότι $\displaystyle k^{2}-k-1=0$ .

Δεκτή ρίζα μόνο η $\displaystyle k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Υ.Γ Γιώργο, με ενδιαφέρει περισσότερο να δω την ιδέα σου για την κατασκευή του παρόντος θέματος, όχι τη λύση (η οποία είναι απλή...)

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα.
Σ΄ευχαριστώ Κώστα για την άμεση λύση!
Μόλις βγήκε στο ..

.. κλαρί , και την γάζωσες με πολυβόλο!!

Όντως η λύση είναι και γίνεται πιο απλή , χωρίς ριζικά και με λιγότερες πράξεις..

Ας δούνε το θέμα και άλλοι φίλοι και θα τα πούμε.. Ως θεματοθέτης δεν πρέπει να βιαστώ να γράψω το δικό μου σκεπτικό-λύση.

Να πω ότι το k=1

δεν αποκλείεται. Το τετράγωνο προφανώς είναι (ένα ωραίο) ορθογώνιο. Ίσως να μην θεωρείται χρυσό,
αλλά ο τίτλος του θέματος - όσο και το σχήμα - δεν είναι νομίζω δεσμευτικά..

Φιλικά , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 3:23 pm Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.
9-9 Χρυσό ορθογώνιο.png
Το είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το μέσον της κι΄ο κύκλος των τέμνει την στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $\dfrac{AD}{MH}=2 \Rightarrow AG=2GM$ .Έστω ότι MN=y

Ισχύει $\dfrac{AN}{NC}=5-2k \Rightarrow \dfrac{3x+y}{3x-y}=5-2k \Rightarrow \dfrac{3+ \dfrac{y}{x} }{3- \dfrac{y}{x} }=5-2k (1)$

Ακόμη $\dfrac{y}{3x-y}= \dfrac{KM^2}{KC^2}= \dfrac{b^2}{a^2}= \dfrac{1}{k^2} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{k^2+1} (2)$

Με αντικατάσταση της (2)

στην

και απλές πράξεις παίρνουμε

$k^3-2k^2+1=0\Leftrightarrow (k-1)(k^2-k-1)=0$ απ όπου k=1

(περίπτωση τετραγώνου) ή $k= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} = \Phi$

: χρυσό ορθογώνιο.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 1744 φορές

STOPJOHN · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 3:23 pm Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.
9-9 Χρυσό ορθογώνιο.png
Το είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το μέσον της κι΄ο κύκλος των τέμνει την στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Το τετράπλευρο DLNA

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο οποτε τα ορθογώνια τρίγωνα LNC,ADC

είναι όμοια και απο τους λόγους $NC=\dfrac{kb}{2\sqrt{k^{2}}+1},AN=\dfrac{b(k^{2}+2)}{2\sqrt{k^{2}+1}}\Rightarrow \dfrac{AN}{NC}=1+\dfrac{2}{k^{2}},$ Οπότε $k^{3}-2k^{2}+1=0,0< k< \dfrac{5}{2},k\neq 1\Rightarrow k=\Phi$

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 3:23 pm Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.
9-9 Χρυσό ορθογώνιο.png
Το είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το μέσον της κι΄ο κύκλος των τέμνει την στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

οπότε

Είναι ακόμα, $\displaystyle AC = 2b\sqrt {{k^2} + 1}$ κι επειδή

$\dfrac{AN}{NC}=5-2k,$ θα είναι $\displaystyle AN = \frac{{2b(5 - 2k)\sqrt {{k^2} + 1} }}{{6 - 2k}},NC = \frac{{2b\sqrt {{k^2} + 1} }}{{6 - 2k}}$

: Χρυσό ορθογώνιο.ΓΜ.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

$\displaystyle A{N^2} - N{C^2} = A{E^2} - E{C^2} = A{E^2} - E{D^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow \frac{{({k^2} + 1)(4 - 2k)}}{{6 - 2k}} = 1,$ απ' όπου

$\displaystyle {k^3} - 2{k^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow (k - 1)({k^2} - k - 1) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{k=1}$ ή $\boxed{k=\Phi}$

ksofsa · #7

Καλημέρα.

Χωρίς αλλαγές στο σχήμα:

Από θεώρημα δύναμης σημείου, $CN\cdot CA=\dfrac{1}{2}CD^2=\dfrac{1}{2}AB^2 (1)$ .

Επίσης, $\dfrac{CA}{CN}=1+(5-2k)=6-2k (2)$ .

Πολλαπλασιάζω τις δύο σχέσεις κατά μέλη και έχω:

$CA^2=(3-k)AB^2\Leftrightarrow \dfrac{CA^2}{AB^2}=3-k\Leftrightarrow \dfrac{AB^2+BC^2}{AB^2}=3-k\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{k^2}=3-k\Leftrightarrow$

$k^3-2k^2+1=0\Leftrightarrow (k-1)(k^2-k-1)=0$

Τελικά, k=1

ή $k=\phi$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 3:23 pm Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.
9-9 Χρυσό ορθογώνιο.png
Το είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το μέσον της κι΄ο κύκλος των τέμνει την στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

$\triangle KMC \simeq \triangle KHL \Rightarrow \dfrac{m}{b}= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{ \dfrac{a}{2} } \Rightarrow m= \dfrac{b}{k} (1)$

$\dfrac{ \dfrac{a}{2}+m}{ \dfrac{a}{2} }= \dfrac{AN}{NC}=5-2k \Rightarrow m= ( 2-k)a (2)$

Από $(1),(2) \Rightarrow \dfrac{b}{k} =(2-k)a \Rightarrow \dfrac{1}{k} =\dfrac{b}{a}=k( 2-k) \Rightarrow k^3-2k^2+1=0 \Rightarrow k=1$ ή $k= \Phi$

: χρυσό ορθογώνιο.png (63.85 KiB) Προβλήθηκε 1666 φορές

Ιστοσελίδα · #9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 3:23 pm Χαιρετώ! Με αφορμή την Πρακτική καθετότητα.
Το είναι ορθογώνιο με $\dfrac{AB}{BC}=k$ . Το μέσον της κι΄ο κύκλος των τέμνει την στο $N\not\equiv A$ .

Αν $\dfrac{AN}{NC}=5-2k$ τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: 2023-09-10_17-48-01.jpg (54.51 KiB) Προβλήθηκε 1634 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλό βράδυ!
Να ευχαριστήσω θερμά (έστω και με καθυστέρηση) τους Μιχάλη Τ. ,Γιάννη, Γιώργο, Κώστα και Μιχάλη Ν.
για την ποικλία των λύσεων που μας πρόσφεραν!

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 4:00 pm Καλησπέρα.

Υ.Γ Γιώργο, με ενδιαφέρει περισσότερο να δω την ιδέα σου για την κατασκευή του παρόντος θέματος, όχι τη λύση (η οποία είναι απλή...)

Δυο λόγια για την κατασκευή του παρόντος. Αυτή οφείλεται στον τύπο που βρήκα στο θέμα πρακτική καθετότητα (δείτε τη δημοσίευση #14).

Με επιθυμητό λόγο $\dfrac{AB}{BC}=\Phi$ και θεωρώντας το μέσον

του

, βρήκα μέσω του εκεί τύπου

τον τρίτο λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ , ως συνάρτηση του $\Phi$ . Η συνέχεια είναι νομίζω φανερή.. Φιλικά, Γιώργος.

Henri van Aubel · #11

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Οκτ 24, 2023 11:53 pm Καλό βράδυ!
Να ευχαριστήσω θερμά (έστω και με καθυστέρηση) τους Μιχάλη Τ. ,Γιάννη, Γιώργο, Κώστα και Μιχάλη Ν.
για την ποικλία των λύσεων που μας πρόσφεραν!
Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Σεπ 09, 2023 4:00 pm Καλησπέρα.

Υ.Γ Γιώργο, με ενδιαφέρει περισσότερο να δω την ιδέα σου για την κατασκευή του παρόντος θέματος, όχι τη λύση (η οποία είναι απλή...)
Δυο λόγια για την κατασκευή του παρόντος. Αυτή οφείλεται στον τύπο που βρήκα στο θέμα πρακτική καθετότητα (δείτε τη δημοσίευση #14).

Με επιθυμητό λόγο $\dfrac{AB}{BC}=\Phi$ και θεωρώντας το μέσον του , βρήκα μέσω του εκεί τύπου

τον τρίτο λόγο $\dfrac{AN}{NC}$ , ως συνάρτηση του $\Phi$ . Η συνέχεια είναι νομίζω φανερή.. Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργο, σε ευχαριστώ

Θα τολμούσες να την βάλεις σε μαθητές στο σχολείο ; Την θεωρώ βατή από τη μια, αλλά όχι και για σχολική .

Χρυσό ορθογώνιο

Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Re: Χρυσό ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση