Εξάρα

KARKAR · #1

: Εξάρα.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι : $AB=AC=\dfrac{13}{2}, BC=5$ . Η κάθετη από το μέσο

της

προς την πλευρά

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Στην προέκταση της

,

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : (MTS)=6

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 11:35 am Στο τρίγωνο , είναι : $AB=AC=\dfrac{13}{2}, BC=5$ . Η κάθετη από το μέσο της

προς την πλευρά , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Στην προέκταση της ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Υπολογίστε το τμήμα .

Χρησιμοποιήθηκαν ομοιότητες τριγώνων (τις αρχικές πράξεις τις έχω παραλείψει), θεώρημα διχοτόμου, εμβαδόν τριγώνου!

: 2023-09-16_14-22-16.jpg (58.5 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 11:35 am Εξάρα.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $AB=AC=\dfrac{13}{2}, BC=5$ . Η κάθετη από το μέσο της

προς την πλευρά , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Στην προέκταση της ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Υπολογίστε το τμήμα .

$MC^2=CE.CA\Rightarrow \dfrac{25}{4}=CE. \dfrac{13}{2} \Rightarrow CE= \dfrac{26}{25}$

Από Ήρωνα $(ABC)=15\Rightarrow AM=6$

$\angle \dfrac{A}{2} = \angle EMC= \angle BMT \Rightarrow z^2=y( \dfrac{13}{2} +y) (1)$

Επιπλέον, $\angle C+MBT=180^0$ άρα $\dfrac{(BMT)}{(AMC)}= \dfrac{z.BM}{AM.AC}= \dfrac{y.BM}{MC.AC} \Rightarrow y= \dfrac{5z}{12} (2)$

Από $(1),(2) \Rightarrow z= \dfrac{390}{119} ,y= \dfrac{325}{238}$

$2(TMS)=z(CE+x) \Rightarrow 12= \dfrac{390}{119} (x+ \dfrac{26}{25})\Rightarrow x=2.7$

: εξάρα.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 11:35 am Στο τρίγωνο , είναι : $AB=AC=\dfrac{13}{2}, BC=5$ . Η κάθετη από το μέσο της

προς την πλευρά , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Στην προέκταση της ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Υπολογίστε το τμήμα .

Με μία αναλογία (δανεικά αποτελέσματα από την πρώτη ανάρτηση)...

: 2023-09-17_6-30-00.jpg (55.72 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 16, 2023 11:35 am Εξάρα.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $AB=AC=\dfrac{13}{2}, BC=5$ . Η κάθετη από το μέσο της

προς την πλευρά , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Στην προέκταση της ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Υπολογίστε το τμήμα .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Εύκολα έχω ότι το τετράπλευρο ABMG

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

και η ευθεία

εφαπτομένη του .

Από Π. Θ. στο $\vartriangle MAB$ έχω: AM = 6

.

Έτσι, από Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle AMC$ , $A{M^2} = AD \cdot AC$ . Αν θέσω CD = DG = m

η προηγούμενη γίνεται:

$36 = \left( {\dfrac{{13}}{2} - m} \right)\dfrac{{13}}{2} \Rightarrow \boxed{m = \dfrac{{25}}{{26}} \Rightarrow 2m = \dfrac{{25}}{{13}}}\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή , TD//BG

αν θέσω

θα έχω και λόγω των $\left( 1 \right)$ ,

: Εξάρα_κατασκευή_b.png (33.79 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

$\dfrac{{TB}}{{DG}} = \dfrac{{AB}}{{AG}} \Rightarrow \dfrac{k}{{\dfrac{{25}}{{26}}}} = \dfrac{{\dfrac{{13}}{2}}}{{\dfrac{{13}}{2} - \dfrac{{25}}{{13}}}} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{{325}}{{238}}}\,\,\left( 2 \right)$ . Τώρα λόγω της $\left( 2 \right)$

Από $TM = \sqrt {TB \cdot TA} \Rightarrow TM = \sqrt {\dfrac{{325}}{{238}}\left( {\dfrac{{325}}{{238}} + \dfrac{{13}}{2}} \right)} = \dfrac{{390}}{{119}} \Rightarrow \boxed{TM = \dfrac{{390}}{{119}}}\,\,\left( 3 \right)$ .

Έστω τώρα , AC = x

θα ισχύει και λόγω της $\left( 3 \right)$ : $2\left( {MTS} \right) = MT \cdot SD \Rightarrow 12 = \dfrac{{390}}{{119}}\left( {x + \dfrac{{25}}{{26}}} \right) \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{27}}{{10}}}$

Απ’ ότι βλέπω είναι παρόμοια με του Μιχάλη του Τσουρακάκη .

Έχω και λύση με Αναλυτική Γεωμετρία αλλά κι εκεί έχει ολίγον τι εκνευριστικές πράξεις.

Μάλλον υποβόσκει κάποια απλή λύση ( λόγω και της λέξης: Εξάρα)

Εξάρα

Εξάρα

Re: Εξάρα

Re: Εξάρα

Re: Εξάρα

Re: Εξάρα

Μέλη σε σύνδεση