Τετράδα σημείων, σε κύκλο.

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΟ

Henri van Aubel · #2

giannimani · #3

Έστω

το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων $\Omega$ , $\Omega '$ των τριγώνων ABC

και

.
Θα αποδείξουμε ότι $T' \equiv T$ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Συμβολίζουμε με

το σημείο τομής της T'D

με τον κύκλο $\Omega '$ . Σύμφωνα με το θεώρημα Reim
$(BD)\parallel (EQ$ ) και $(DC)\parallel (QF)$ . Επομένως, το DEQF

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του
διχοτομούνται, δηλαδή, το

μέσο του

, που σημαίνει ότι $M \in (DQ)\equiv (T'D)$ , οπότε $T' \equiv T$ .

Θεώρημα Reim : Οι κύκλοι $\Omega$ , $\Omega '$ τέμνονται στα σημεία

,

, και η ευθεία $\ell_M$ που διέρχεται από το

τέμνει τους $\Omega$ , $\Omega '$ στα A_1

,

αντίστοιχα. Έστω B_1

,

σημεία των $\Omega$ , $\Omega '$ αντίστοιχα. Τότε, $A_1 B_1\parallel A_2 B_2$ αν και μόνο αν, τα σημεία B_1

,

ανήκουν στην ίδια ευθεία $\ell_N$ .