Τέσσερα σημεία στον ίδιο κύκλο...

[giannimani]

Στο τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου , που δεν περιέχει την κορυφή ,
επιλέγουμε ένα σημείο . Το σημείο του ευθύγραμμου τμήματος είναι τέτοιο, ώστε .
Στην ευθεία , που διέρχεται από το , επιλέγουμε σημείο τέτοιο, ώστε .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

concyclic.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

[george visvikis]

Στο τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου , που δεν περιέχει την κορυφή ,
επιλέγουμε ένα σημείο . Το σημείο του ευθύγραμμου τμήματος είναι τέτοιο, ώστε .
Στην ευθεία , που διέρχεται από το , επιλέγουμε σημείο τέτοιο, ώστε .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
concyclic.png

Η μεσοκάθετη της τέμνει την στο Θα δείξω ότι τα είναι ομοκυκλικά και ότι το

ταυτίζεται με το σημείο της εκφώνησης.

4ΣΣΙΚ.png (20.84 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

Από το εγγεγραμμένο οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα και οι διπλάσιες τους κόκκινες, οπότε το

είναι εγγράψιμο. Επομένως, Επειδή όμως η παράλληλη από το στην

τέμνει την μεσοκάθετη του σε μοναδικό σημείο, θα είναι και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Στο τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου , που δεν περιέχει την κορυφή ,
επιλέγουμε ένα σημείο . Το σημείο του ευθύγραμμου τμήματος είναι τέτοιο, ώστε .
Στην ευθεία , που διέρχεται από το , επιλέγουμε σημείο τέτοιο, ώστε .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
concyclic.png

Τα είναι σημεία των μεσοκαθέτων των που η τομή τους είναι το κέντρο του κύκλου

Έτσι ,(λόγω και της ) οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα ομοκυκλικά κι επίσης οι

κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα ομοκυκλικά

Επομένως ομοκυκλικά

ομοκυκλικά.png (35.12 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

[Henri van Aubel]

Στο τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου , που δεν περιέχει την κορυφή ,
επιλέγουμε ένα σημείο . Το σημείο του ευθύγραμμου τμήματος είναι τέτοιο, ώστε .
Στην ευθεία , που διέρχεται από το , επιλέγουμε σημείο τέτοιο, ώστε .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
concyclic.png

Τα είναι σημεία των μεσοκαθέτων των που η τομή τους είναι το κέντρο του κύκλου

Έτσι ,(λόγω και της ) οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα ομοκυκλικά κι επίσης οι

κόκκινες γωνίες είναι ίσες,άρα ομοκυκλικά

Επομένως ομοκυκλικά

ομοκυκλικά.png

Είναι μια ζωγραφιά η λύση