e-ρώτηση

KARKAR · #1

Υπάρχει θετικός αριθμός

, για τον οποίο να είναι : $e^\frac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 25, 2023 8:27 pm Υπάρχει θετικός αριθμός , για τον οποίο να είναι : $e^\frac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}$ ;

Δεν υπάρχει: Η ερώτηση ισοδυναμεί με την ύπαρξη θετικού

με

. Όμως ξέρουμε την ανισότητα $e^t \ge 1+t + \frac {1}{2} t^2 \,(*)$ (βλέπε παρακάτω). Συνεπώς θα είχαμε $1+ t = e^t \ge 1+t + \frac {1}{2} t^2$ , δηλαδή $0\ge t^2$ για θετικό

. Άτοπο.

(*) Όποιος δεν ξέρει την ανισότητα αλλά γνωρίζει την ασθενέστερη $e^x \ge 1+x$ , ας την ολοκληρώσει από

έως

.
Αν δεν γνωρίζει την αθενέστερη, ας ολοκληρώσει από

έως

την $e^x \ge 1$ , όπου $x\ge 0$ .

KARKAR · #3

Μιχάλη , νομίζω ότι η ισχύς της ανισότητας : $e^v\geq1+v$ , με το ίσον να επιτυγχάνεται μόνο για : v=0

είναι αρκετή . Διότι το $\dfrac{1}{x}$ , δεν γίνεται ίσο με

. Όμως η "προσέγγιση" των δύο μελών , είναι εντυπωσιακή

για μεγάλα

. Παράδειγμα , για : x=100

, είναι $e^\frac{1}{100}=1.01005>1.01000=1+\dfrac{1}{100}$

Φυσικά αυτό δεν είναι κάτι "μαγικό" , αφού : $\lim\limits_{v\rightarrow 0}e^v=\lim\limits_{v\rightarrow 0}(1+v)=1$ .

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 7:43 am Μιχάλη , νομίζω ότι η ισχύς της ανισότητας : $e^v\geq1+v$ , με το ίσον να επιτυγχάνεται μόνο για :
είναι αρκετή.

Ορθότατα. Η απόδειξη που έκανα ακριβώς αυτό δείχνει. Δεν ήθελα να το χρησιμοποιήσω χωρίς απόδειξη (αν και γνωστό) για λόγους πκηρότητας.

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 7:43 am Όμως η "προσέγγιση" των δύο μελών , είναι εντυπωσιακή

Σωστά. Με γλώσσα εκτός Σχολείου πρόκειται για την ισιότητα (που η αντίστοιχή της ισχύει για όλες της δυναμοσειρές) $e^t = 1+ \big O (t)$ . Γενικά (για συναρτήσεις που έχουν δυναμοσειρά) ισχύει $f(t) = f(0) + \big O (t)$ .

e-ρώτηση

e-ρώτηση

Re: e-ρώτηση

Re: e-ρώτηση

Re: e-ρώτηση

Μέλη σε σύνδεση