Διχοτόμος και ημίτονο

KARKAR · #1

: Διχοτόμος και ημίτονο.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 2138 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d

, θεωρούμε χορδή $BS=\dfrac{4d}{5}$ και σημείο

, του

τόξου $\overset{\frown}{BS}$ , τέτοιο ώστε : $ST = \dfrac{3d}{5}$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ και υπολογίστε το $\sin\eta$ .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 8:21 am Σε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε χορδή $BS=\dfrac{4d}{5}$ και σημείο , του

τόξου $\overset{\frown}{BS}$ , τέτοιο ώστε : $ST = \dfrac{3d}{5}$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ και υπολογίστε το $\sin\eta$ .

: shape.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 2121 φορές

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτουμε d = 5

. Το τρίγωνο SAB

είναι ορθογώνιο της μορφής (3,4,5)

, οπότε οι γωνίες φ,θ είναι ίσες γιατί αντιστοιχούν σε ίσες χορδές.

Κατασκευάζω το ισοσκελές τρίγωνο BAC

και φέρνω $SM \bot CT$ . Από το, επίσης (3,4,5)

, ορθογώνιο τρίγωνο BSM

υπολογίζουμε την πλευρά $SM = \dfrac{{12}}{5}.$

Είναι AT = 2SM

και από Π.Θ. στο $ATB:BT = \dfrac{7}{5}$ , συνεπώς $\sin \eta = \dfrac{7}{{25}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 8:21 am Σε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε χορδή $BS=\dfrac{4d}{5}$ και σημείο , του

τόξου $\overset{\frown}{BS}$ , τέτοιο ώστε : $ST = \dfrac{3d}{5}$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ και υπολογίστε το $\sin\eta$ .

Από το Πυθαγόρειο στο ASB

έχουμε $AS = \sqrt { d^2 - \left ( \dfrac {4d}{5}\right )^2} = \dfrac {3d}{5}$ Δηλαδή AS=ST

, οπότε $\theta = \phi$ .

Επίσης,

$\sin \eta = -\cos (90+\eta) = -\cos AST = \cos ABT = \cos 2\phi = 2 \cos ^2 \phi - 1= 2 \cdot \left ( \dfrac {\dfrac {4d}{5} }{d}\right )^2 -1 = \dfrac {7}{25}$

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 8:21 am Διχοτόμος και ημίτονο.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε χορδή $BS=\dfrac{4d}{5}$ και σημείο , του

τόξου $\overset{\frown}{BS}$ , τέτοιο ώστε : $ST = \dfrac{3d}{5}$ . Δείξτε ότι : $\phi=\theta$ και υπολογίστε το $\sin\eta$ .

Κάτι παρόμοιο. Έστω d=5.

Εύκολα βρίσκω με Π.Θ ότι $\displaystyle SA = ST = 3 \Leftrightarrow \varphi = \theta.$

: Διχοτόμος και ημίτονο.png (21.87 KiB) Προβλήθηκε 2100 φορές

Θεωρώ σημείο

της

ώστε

Τότε το

είναι χαρταετός και SP=ST=SA=3.

$\displaystyle \eta = S\widehat PT - \varphi = \widehat A - \varphi \Leftrightarrow \sin \eta = \sin A\cos \varphi - \sin \varphi \cos A = \frac{{16}}{{25}} - \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin \eta = \frac{7}{{25}}}$

Διχοτόμος και ημίτονο

Διχοτόμος και ημίτονο

Re: Διχοτόμος και ημίτονο

Re: Διχοτόμος και ημίτονο

Re: Διχοτόμος και ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση