Γωνία ισοσκελούς

#1

: Γωνία ισοσκελούς..png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC).

Ο κύκλος που διέρχεται από το

και εφάπτεται

της

στο

τέμνει την

στο

Αν $\dfrac{DB}{DA}=2\cos A,$ να υπολογίσετε την γωνία $\widehat A.$

#2

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 07, 2024 2:10 pm Γωνία ισοσκελούς..png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται

της στο τέμνει την στο Αν $\dfrac{DB}{DA}=2\cos A,$ να υπολογίσετε την γωνία $\widehat A.$

: Γωνία ισοσκελούς.png (20.38 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

$\boxed{\cos \theta = \frac{m}{k} \Leftrightarrow 2\cos \theta = \frac{{2m}}{k} = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m\sqrt 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$ . Άρα $\theta = 45^\circ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 07, 2024 2:10 pm Γωνία ισοσκελούς..png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται

της στο τέμνει την στο Αν $\dfrac{DB}{DA}=2\cos A,$ να υπολογίσετε την γωνία $\widehat A.$

Αν ο κύκλος τμήσει το ύψος

στο

είναι προφανής η ισότητα των γωνιών $\theta$

οπότε

μεσοκάθετος της

άρα

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ADC

παίρνουμε

Άρα (γνωστό) $\angle A =2 \phi \Rightarrow \theta= \phi$

Έτσι $4 \theta =90^0 \Rightarrow \theta =22.5^0 \Rightarrow \angle A=45^0$

: γωνία ισοσκελούς.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 07, 2024 2:10 pm Γωνία ισοσκελούς..png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται

της στο τέμνει την στο Αν $\dfrac{DB}{DA}=2\cos A,$ να υπολογίσετε την γωνία $\widehat A.$

Με $DE \bot AC \Rightarrow cosA= \dfrac{x}{AD}= \dfrac{BD}{2AD} \Rightarrow BD=2x$

Αν

συμμετρικό του

ως προς

τότε

άρα $\angle \omega =2 \theta$

και στο τρίγωνο ABC

είναι $8 \theta =180^0 \Rightarrow \angle \theta =22.5^0 \Rightarrow \angle \omega =45^0$

: γωνία ισοσκελούς 2.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Dimessi · #5

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιαν 07, 2024 2:10 pm Γωνία ισοσκελούς..png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο Ο κύκλος που διέρχεται από το και εφάπτεται

της στο τέμνει την στο Αν $\dfrac{DB}{DA}=2\cos A,$ να υπολογίσετε την γωνία $\widehat A.$

$\bullet$ Αφού η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ADC,

άρα $\displaystyle BD=\frac{BC^{2}}{AB}\Rightarrow \frac{BD}{AB}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}}=\frac{a^{2}}{c^{2}}\Rightarrow \boxed{\frac{BD}{AD}=\frac{a^{2}}{c^{2}-a^{2}}}\left ( 1 \right ).$
$\displaystyle\frac{BD}{AD}=2\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}\overset{b=c}=\frac{2c^{2}-a^{2}}{c^{2}}\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow \boxed{\frac{2c^{2}-a^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}}{c^{2}-a^{2}}}.$ Επομένως , αφού a,c> 0,

άρα $\displaystyle \frac{a}{c}=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ ή $\displaystyle \frac{a}{c}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ από τις οποίες απορρίπτεται η δεύτερη επειδή $\displaystyle BD< AB\Rightarrow \frac{BC^{2}}{AB}< AB\Rightarrow \frac{a}{c}< 1.$ Συνεπώς $\displaystyle \frac{a}{c}=\sqrt{2-\sqrt{2}}\Rightarrow \cos A=\frac{2c^{2}-a^{2}}{2c^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \boxed{\angle BAC=45^\circ}.$

Γωνία ισοσκελούς

Γωνία ισοσκελούς

Re: Γωνία ισοσκελούς

Re: Γωνία ισοσκελούς

Re: Γωνία ισοσκελούς

Re: Γωνία ισοσκελούς

Μέλη σε σύνδεση