Κοινές εφαπτόμενες καμπυλών

KARKAR · #1

Αν : $f(x)=\dfrac{x^2}{4}-x+3$ και : $g(x)=\ell n x$ , βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των $C_{f} , C_{g}$ .

Dimessi · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 7:37 pm
Αν : $f(x)=\dfrac{x^2}{4}-x+3$ και : $g(x)=\ell n x$ , βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των $C_{f} , C_{g}$ .

Είναι $D_{f}=\mathbb{R}$ και $D_{g}=\left ( 0,+\infty \right ).$
Η εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο της $A\left ( x_{0},f(x_{0}) \right )$ είναι $\displaystyle y=f\left ( x_{0} \right )+f'\left ( x_{0} \right )\cdot \left ( x-x_{0} \right )\Leftrightarrow y=\frac{x_{0}^{2}}{4}-x_{0}+3+\left ( \frac{x_{0}}{2}-1 \right )\cdot \left ( x-x_{0} \right )$ και αυτή η ευθεία εφάπτεται της Cg,

έστω στο σημείο $B\left ( x_{1},\ln x_{1}\right ).$ Η ευθεία είναι δηλαδή η $\displaystyle y=g\left ( x_{1} \right )+g{'}\left ( x_{1} \right )\cdot \left ( x-x_{1} \right )\Leftrightarrow y=\ln x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\left ( x-x_{1} \right ).$ Επομένως $\displaystyle \frac{x_{0}}{2}-1=\frac{1}{x_{1}}\Leftrightarrow x_{0}=\frac{2\left ( x_{1} +1\right )}{x_{1}}\left ( 1 \right )$ και $\displaystyle \frac{x_{0}^{2}}{4}-x_{0}+3-\frac{x_{0}^{2}}{2}+x_{0}=\ln x_{1}-1\Leftrightarrow \ln x_{1}+\frac{x_{0}^{2}}{4}=4\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow \boxed{\ln x_{1}+\frac{\left ( x_{1}+1 \right )^{2}}{x_{1}^{2}}=4}.$ Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle h\left ( x \right )=\ln x+\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}}-4=\ln x+\frac{2x+1}{x^{2}}-3,x\in \left ( 0,+\infty \right ).$ Η

είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle h{'}\left ( x \right )=\frac{1}{x}+\frac{2x^{2}-2x\left ( 2x+1 \right )}{x^{4}}=\frac{x^{2}-2x-2}{x^{3}}=\frac{\left ( x-1 \right )^{2}-3}{x^{3}},\forall x\in \left ( 0,+\infty \right ).$ Άρα, η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left ( 0,1+\sqrt{3} \right ]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left [ 1,+\sqrt{3},+\infty \right ).$ Η

είναι και συνεχής στο $\left ( 0,+\infty \right )$ και άρα $\displaystyle h\left ( \left ( 0,1+\sqrt{3} \right ] \right )=\left [h(1+\sqrt{3}) ,\lim_{x\rightarrow 0^{+}}h(x) \right )$ και $\displaystyle h \left(\left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right )\right)=\left [h\left ( 1+\sqrt{3} \right ),\lim_{x\rightarrow +\infty} h\left ( x \right ) \right ).$ Αφού $h\left ( 1+\sqrt{3} \right )< 0$ και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}h\left ( x \right )=+\infty$ και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}h\left ( x \right )=+\infty,$ η

έχει, και λόγω γνήσιας μονοτονίας σε αυτά τα δύο διαστήματα, μία ρίζα στο $\left ( 0,1+\sqrt{3} \right ],$ την x=1

και μία ρίζα στο $\left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right ).$ Και λοιπά.
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων του θέματος έχουν δύο κοινές εφαπτόμενες, εκ των οποίων της μιας μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ( y=x-1

)
, αλλά της άλλης δεν μπορούμε με ακρίβεια...

Κοινές εφαπτόμενες καμπυλών

Κοινές εφαπτόμενες καμπυλών

Re: Κοινές εφαπτόμενες καμπυλών

Μέλη σε σύνδεση