Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

chris · #1

Για να ξεσκουριασουμε λίγο και με αφορμη την επερχόμενη Μεσογειάδα:
1)Να συγκρίνεται τους αριθμους: $(2^{10})!,2^{2^{13}+12}$

2)Να λυθεί η εξίσωση: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x$

3)Να λυθεί το σύστημα:
32y=xzab
288x=zyab
72z=xyab
18a=xyzb
2b=xyza

4)Αν χ1,χ2,χ3>=0 τοτε ν..δ.ο $\frac{x_{1}}{x_{2}+x_{3}}+\frac{x_{2}}{x_{1}+x_{3}}+\frac{x_{3}}{x_{1}+x_{2}}\geq \frac{3}{2}$

5)Αν η εξίσωση $x^{3}-9x^{2}+11x-1=0$ έχει τρεις ρίζες a,b,c και $s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ τότε βρείτε την τιμή της παράστασης $A=s^{4}-18s^{2}-8s$
Και κάτι πιο δύσκολο:
6)Αν a,b,c θετικοι πραγματικοι ν.δ.ο: $1+\frac{8abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{2(ab+bc+ac)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

7)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=3, ΑΓ=12.Στο σημείο Μ της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α η διαφορά των γωνιών ΑΒΜ,ΑΓΜ γίνεται max.Βρείτε το ΑΜ.

Παρεπιπτόντως να ευχηθούμε καλή επιτυχία σε όσους Ελληνές θα συμμετέχουν στην Μεσογειάδα.

Dimitris X · #2

H 4 είναι η κλασική nebsit inequality και η πιο εύκολη αντιμετώπιση είναι με cauchy-schwarz:

$\sum \frac{x_1}{x_2+x_3}=\sum \frac{(x_1)^2}{x_1x_2+x_3x_1}\ge \frac{(x_1+x_2+x_3)^2}{2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}\ge \frac{3}{2}.$

Για την 6 εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=339666

Djimmakos · #3

Για τη 2)

Η συνάρτηση

$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}+2x-4$ είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αύξουσων συναρτήσεων (το οποίο αποδεικνύεται έυκολα), οπότε η εξίσωση f(x)=0 (δλδ η εξίσωση της άσκησης) θα έχει μοναδική λύση, η οποία είναι η προφανής x=1

chris · #4

2)Σωστός αλλα ας δούμε και κάτι άλλο:
Η δοθεισα γίνεται $x-1+x-3+2\sqrt{(x-1)(x+3)}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}-6=0\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3})^{2}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}-6=0\Leftrightarrow(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3} +3)(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}-2)=0$
απο οπου προκύπτει χ=1

Djimmakos · #5

Ναι, είναι και αυτός ένας τρόπος, αλλά πολές φορές η μονοτονία σου λύνει τα χέρια, ειδικά όταν η λύση είναι προφανής :p

chris · #6

Να και μια 8η:
Α= $\frac{x}{x+3}+\frac{x^{2}}{x^{2}+3}+\frac{x^{3}}{x^{3}+3}+\frac{x^{4}}{x^{4}+3}+\frac{x^{5}}{x^{5}+3}+\frac{x^{6}}{x^{6}+3}$ όπου $x=\sqrt[7]{9}$ .Να βρείτε την τιμή του Α.
(Παραμένουν αναπάντητες οι 1,3,5,7*.Περιμένω όμορφες λύσεις)

chris · #7

Επειδη δεν βλέπω ναπροχωράει το θέμα να δώσω καποια hint:
3)πολλαπλασιαστε κατα μέλη
8) $3=x^{\frac{7}{2}}$
[7)Κατασκευή του Χ.Πατήλα]

Eukleidis · #8

Το σύστημα μήπως είναι στους θετικούς ή στους μη αρνητικους?

chris · #9

Είναι στους φυσικούς.Παράλειψή μου

Eukleidis · #10

Αν δν κάνω λάθος είναι (x,y,z,a,b)=(0,0,0,0,0),(1,3,2,4,12)

chris · #11

Σωστός.

GMANS · #12

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 2.pdf: (22.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 259 φορές

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 2.pdf: (22.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 259 φορές

chris · #13

Πολύ σωστη απάντηση και καλά παρατηρηση.

Μιας και είναι η 1η σου διμοσίευση σε καλοσορίζω στο

GMANS · #14

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ Σ4.pdf: (42.22 KiB) Μεταφορτώθηκε 188 φορές

chris · #15

Σωστός και πάλι

αλλά όπως καθυστερημένα προείπα κρατάμε μόνο τις θετικες τιμές αφου x,y,a,b,z φυσικοί.

Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Re: Ασκησεις προετοιμασίας προκριμάτικων

Μέλη σε σύνδεση