Ολοκλήρωμα!

Dimessi · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{\left ( e^{x}-x \right )^{2}+\pi ^{2}}=\frac{1}{1+\Omega },$ όπου $\Omega$ είναι η μοναδική πραγματική ρίζα της εξίσωσης $xe^{x}=1.$

Dimessi · #2

Παραθέτω τη λύση μου. Είναι $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\left ( e^{z}-z \right )^{2}+\pi ^{2}}dz=\frac{1}{2\pi i}\left ( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^{z}-z-\pi i}dz-\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{e^{z}-z+\pi i}dz\right )=\frac{1}{2\pi i}\left ( \int\limits_{-\infty-\pi i}^{+\infty-\pi i}\frac{1}{e^{w}+w}dw+\int\limits_{+\infty+\pi i}^{-\infty+\pi i}\frac{1}{e^{w}+w}dw \right )$ και $\displaystyle \left | \frac{1}{e^{w}+w} \right |\geqslant \frac{1}{\left | e^{w} \right |+\left | w \right |}\overset{w\rightarrow +\infty}\rightarrow 0.$ Έστω

το ορθογώνιο με κορυφές $A\left ( -M,-\pi \right ),B\left ( M,-\pi \right ),C\left ( M,\pi \right ),D\left ( -M,\pi \right )$ με $M\rightarrow +\infty$ και με ορθή φορά περιστροφής. Η συνάρτηση $\displaystyle f\left ( w \right )=\frac{1}{e^{w}+w}$ είναι μερόμορφη στο εσωτερικό του ορθογωνίου

(είναι αναλυτική με κάποιους πόλους) και θα βρούμε τους πόλους της $f\left ( w \right )$ στο εσωτερικό του ορθογωνίου

επομένως τις ρίζες τις εξίσωσης $e^{w}+w=0.$ Έχουμε $\displaystyle e^{w}+w=0\Rightarrow x+iy+e^{x+iy}=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} e^{x}\cos y+x=0 & & \\ e^{x}\sin y+y=0 & & \end{matrix}\right..$ Για $y\neq 0$ παίρνουμε $\displaystyle e^{x}=-\frac{y}{\sin y},$ που είναι αδύνατη για $y\in \left [ -\pi ,\pi \right ].$ Για y=0,

ρίζα είναι η μοναδική πραγματική ρίζα της εξίσωσης $e^{x}+x=0.$ Επομένως, αν

η ρίζα της εξίσωσης $e^{x}+x=0,$ παίρνουμε $\displaystyle \int\limits_{c}^{}\frac{1}{e^{w}+w}dw=2\pi i\cdot \textup{Res}\left ( \frac{1}{e^{w}+w},w=r \right )=2\pi i\cdot \lim_{w\rightarrow r}\frac{w-r}{e^{w}+w}=\frac{2\pi i}{1+e^{r}},$ άρα $\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\left ( e^{z}-z \right )^{2}+\pi ^{2}}dz=\frac{1}{2\pi i}\left ( \int\limits_{-\infty-\pi i}^{+\infty-\pi i}\frac{1}{e^{w}+w}dw+\int\limits_{+\infty+\pi i}^{-\infty+\pi i}\frac{1}{e^{w}+w} dw\right )=\frac{1}{2\pi i}\int\limits _{c}\frac{1}{e^{w}+w}dw$ $\displaystyle =\frac{1}{1+e^{r}}.$ Αφού $e^{r}+r=0\Rightarrow \left ( -r \right )e^{\left ( -r \right )}=1\Rightarrow -r=\Omega ,$ όπου $\Omega$ είναι η μοναδική πραγματική ρίζα της εξίσωσης $xe^{x}=1,$ συνεπώς $\displaystyle \boxed{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{\left ( e^{x}-x \right )^{2}+\pi ^{2}}=\frac{1}{1+e^{r}}=\frac{1}{1+\Omega }}.$

Ολοκλήρωμα!

Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Μέλη σε σύνδεση