Είναι τετράγωνο;

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Ιαν 11, 2024 3:07 pm Είναι τετράγωνο ; .png

Το $ABCD\,\,$ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Οι πλευρές του $AB\,\,$ και $CD\,\,$ είναι

παράλληλες. Είναι γνωστό ότι οι γωνίες $CAD\,\,$ και $ABD\,\,$ είναι ίσες. Επιπλέον

οι γωνίες $CAB\,\,$ και $CBD\,\,$ είναι και αυτές ίσες. Είναι το $ABCD\,\,$ αναγκαστικά

τετράγωνο ;

Όχι. Μπορεί να είναι ένα ειδικό ισοσκελές τραπέζιο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

: Είναι τετράγωνο;.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

#3

Εν αναμονή πιθανώς κάποιας ομορφης γεωμετρικής κατασκευής, προσφέρω την εξής τριγωνομετρική προσέγγιση:

Από Νόμο Ημιτόνων, με $\angle DAC=\angle DBA =\theta$ και $\angle DBC=\angle CAB= \phi,$ προκύπτουν οι ισότητες

$\dfrac{AC}{\eta \mu (\theta + \phi)}=\dfrac{AD}{\eta \mu \phi}=\dfrac{DC}{\eta \mu \theta}$

$\dfrac{BD}{\eta \mu (\theta + \phi)}=\dfrac{BC}{\eta \mu \theta}=\dfrac{DC}{\eta \mu \phi}$

$\dfrac{BD}{\eta \mu (\theta + \phi)}=\dfrac{AD}{\eta \mu \theta}=\dfrac{AB}{\eta \mu (2 \theta +\phi)}$

$\dfrac{AC}{\eta \mu (\theta + \phi)}=\dfrac{BC}{\eta \mu \phi}=\dfrac{AB}{\eta \mu (2 \phi +\theta)}$

Άμεσα προκύπτει από τις παραπάνω η AD=BC

(ισοσκελές τραπέζιο).

Με την κατάλληλη διαίρεση κατά μέλη προκύπτει η $\dfrac{\eta \mu \theta}{\eta \mu (2 \theta +\phi)}=\dfrac{\eta \mu \phi}{\eta \mu (2 \phi +\theta)},$ και από αυτήν η $\eta \mu ^2 \theta - \eta \mu ^2 \phi = \eta \mu ^4 \theta - \eta \mu ^4 \phi :$ προκύπτουν οι λύσεις $\eta \mu \theta - \eta \mu \phi =0,$ $\eta \mu \theta + \eta \mu \phi =0,$ $\eta \mu ^2 \theta + \eta \mu ^2 \phi =1,$ που οδηγούν άμεσα στις $\theta =\phi,$ $\theta +\phi =\pi$ (απορρίπτεται), $\theta +\phi =0$ (απορρίπτεται), $|\theta -\phi|=\pi$ (απορρίπτεται), $\theta +\phi =\dfrac{\pi}{2}$ (ορθογώνιο που απορρίπτεται εκτός και αν είναι τετράγωνο, $\theta =\phi =\dfrac{\pi}{4}$ ), $\theta =\frac{\pi}{2}+\phi$ (απορρίπτεται λόγω $2 \theta +\phi <\pi$ ), $\phi = \frac{\pi}{2}+\theta$ (απορρίπτεται λόγω $2\phi +\theta <\pi$ ).

[Ελπίζω να μην μου ξέφυγαν κάποιες λύσεις

]

Βλέπουμε λοιπόν ότι η μόνη περίπτωση που δεν μπορεί να αποκλειστεί είναι η $\theta =\phi,$ η οποία εύκολα οδηγεί στις

$AB=\dfrac{\eta \mu 3 \theta}{\eta \mu 2 \theta}BD$ και $DC=\dfrac{\eta \mu \theta}{\eta \mu 2 \theta}BD,$

οι οποίες και χαρακτηρίζουν το ισοσκελές τραπέζιο (εκφυλιζόμενο σε ισόπλευρο τρίγωνο για $\theta =\dfrac{\pi}{3}$ ).

[Για $\theta = 50^0$ λαμβάνουμε το ισοσκελές τραπέζιο του Γιώργου με $AB\approx 0,5077BD$ και $CD\approx 0,7778BD.$ ]

#4

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Ιαν 11, 2024 3:07 pm Το $ABCD\,\,$ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Οι πλευρές του $AB\,\,$ και $CD\,\,$ είναι

παράλληλες. Είναι γνωστό ότι οι γωνίες $CAD\,\,$ και $ABD\,\,$ είναι ίσες. Επιπλέον

οι γωνίες $CAB\,\,$ και $CBD\,\,$ είναι και αυτές ίσες. Είναι το $ABCD\,\,$ αναγκαστικά

τετράγωνο ;

Ουσιαστικά γράφω αυτό που έχει ο Γιώργος (Βισβίκης), αλλά ενσωματώνοντας και αυτό που λέει ο Γιώργος (Μπαλόγλου) ο οποίος έδειξε ότι μόνο η περίπτωση $\theta = \phi$ είναι εφικτή. Έτσι έχουμε μόνο την εξής κατάσταση:

Αρχίζουμε με ισοσκελές τρίγωνο EAB

με

. Φέρνουμε τις εξωτερικές διχοτόμους των $A, \, B$ , όπως στο σχήμα. Αν $3\theta <180$ , ισοδύναμα A=B>60

, τότε οι εξωτερικές διχοτόμοι τέμνουν τις απέναντι πλευρές, δηλαδή σχηματίζονται τα τρίγωνα ABC, ABD

. Τότε το

δεν είναι τετράγωνο, ούτε καν ορθογώνιο διότι A<90

. Έχει μάλιστα πάντα AB<CD

διότι οι

τέμνονται από την άλλη μεριά της

.

#5

Άλλη μία κατασκευή.

: Είναι τετράγωνο;β.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο ADC (AD=DC=a).

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει τον κύκλο (C,a)

στο

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ABCD

πληροί τις ζητούμενες προδιαγραφές.

#6

Γοητευτικά απομυθοποιητική η κατασκευή του Μιχάλη, γενικότερη όμως η κατασκευή του Γιώργου, που καλύπτει και την περίπτωση $0<\theta <\dfrac{\pi}{4}$ !

[Στο συνημμένο η περίπτωση $\theta \approx 20^0,$ με $AB=\dfrac{\eta \mu 60^0}{\eta \mu 40^0}BD\approx 1,3473BD$ και $DC=\dfrac{\eta \mu 20^0}{\eta \mu 40^0}BD \approx 0,532BD.$ (Καθώς $\theta \rightarrow 0, \dfrac{AB}{DC}\rightarrow 3,)$ τείνει δηλαδή η κάτω βάση

να γίνει το μεσαίο τρίτο της άνω βάσης AB.

)]

: χωρίς-ισοσκελές-ΕΑΒ.png (7.63 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Ιαν 11, 2024 3:07 pm Είναι τετράγωνο ; .png

Το $ABCD\,\,$ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Οι πλευρές του $AB\,\,$ και $CD\,\,$ είναι

παράλληλες. Είναι γνωστό ότι οι γωνίες $CAD\,\,$ και $ABD\,\,$ είναι ίσες. Επιπλέον

οι γωνίες $CAB\,\,$ και $CBD\,\,$ είναι και αυτές ίσες. Είναι το $ABCD\,\,$ αναγκαστικά

τετράγωνο ;

Αν οι γωνίες $\omega , \phi$ είναι άνισες, τότε στο τρίγωνο AOB

θα είναι όμοια άνισες οι OA,OB

άρα δεν μπορεί το τετράπλευρο να είναι τετράγωνο

Η περίπτωση $\omega =\phi$ απαντήθηκε πολύ εύστοχα από τον κ.Λάμπρου .

: όχι υποχρεωτικά τετράγωνο.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

#8

Τι λείπει; Μία γεωμετρική απόδειξη ότι η $\angle DAC=\angle DBA =\omega$ και $\angle DBC=\angle CAB= \phi$ συνεπάγεται $\omega = \phi.$

#9

gbaloglou έγραψε: Σάβ Ιαν 13, 2024 1:52 pm Τι λείπει; Μία γεωμετρική απόδειξη ότι η $\angle DAC=\angle DBA =\omega$ και $\angle DBC=\angle CAB= \phi$ συνεπάγεται $\omega = \phi.$

Σχεδόν προφανής δεν είναι;

#10

gbaloglou έγραψε: Σάβ Ιαν 13, 2024 1:52 pm Τι λείπει; Μία γεωμετρική απόδειξη ότι η $\angle DAC=\angle DBA =\omega$ και $\angle DBC=\angle CAB= \phi$ συνεπάγεται $\omega = \phi.$

$\displaystyle \widehat A = \widehat B,$ οπότε το ABCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\displaystyle OA = OB \Leftrightarrow \omega = \varphi .$

Είναι τετράγωνο;

Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Re: Είναι τετράγωνο;

Μέλη σε σύνδεση