Ταλαιπωρημένο τμήμα

KARKAR · #1

: Ταλαιπωρημένο τμήμα.png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Σημείο

κινείται στον ημιάξονα

. Η εφαπτομένη από το

προς τον κύκλο : (x-2)^2+(y-2)^2=4

τέμνει τον

, στο σημείο

. Ονομάζω

την τομή της

με τον

και

την τομή της

με τον

.

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του μήκους του

. β) Εξετάστε αν υπάρχει μέγιστη τιμή του μήκους του

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 30, 2024 12:27 pm Ταλαιπωρημένο τμήμα.pngΣημείο κινείται στον ημιάξονα . Η εφαπτομένη από το προς τον κύκλο :

τέμνει τον , στο σημείο . Ονομάζω την τομή της με τον και την τομή της με τον .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του μήκους του .

Έστω

Επειδή ο εγγεγραμμένος κύκλος έχει ακτίνα

θα είναι

Έχουμε λοιπόν:

: Ταλαιπωρημένο τμήμα.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

$\displaystyle {(x + y)^2} = {(a + 4)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {a^2} + 8a + 16 \Leftrightarrow xy = 4(a + 2)$

$\displaystyle (x + a)(y + a) = xy + a(x + y) + {a^2} = 4(a + 2) + a(a + 4) + {a^2} = 2{(a + 2)^2}$

$\displaystyle OT \cdot OS = \frac{{xy}}{{x + a}} \cdot \frac{{xy}}{{y + a}} = \frac{{16{{(a + 2)}^2}}}{{2{{(a + 2)}^2}}} = 8,$ άρα το OS^2+OT^2

ελαχιστοποιείται όταν

$OS=OT=2\sqrt 2.$ Επομένως, $\boxed{S{T_{\min }} = 4}$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 30, 2024 12:27 pm Ταλαιπωρημένο τμήμα.pngΣημείο κινείται στον ημιάξονα . Η εφαπτομένη από το προς τον κύκλο :

τέμνει τον , στο σημείο . Ονομάζω την τομή της με τον και την τομή της με τον .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του μήκους του . β) Εξετάστε αν υπάρχει μέγιστη τιμή του μήκους του .

: Ταλαιπωρημένο τμή_ανάλυση.png (18.63 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

Θεωρώ το κύκλο, $\left( {B,T,S} \right)$ και τέμνει την

στο

. Η γωνία $\widehat {\theta _{}^{}} > \widehat {\omega _{}^{}}$ , ως εξωτερική του $\vartriangle AES$ συνεπώς η χορδή

Γίνεται ελάχιστη όταν $A \equiv E$ . Το ίδιο συμπέρασμα συνάγεται αν το

είναι εσωτερικό του $\left( {B,T,S} \right)$ .

: Ταλαιπωρημένο τμήμα_κατασκευή.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

Τώρα θα προκύψει το πιο πάνω σχήμα με το TS//AB

, και τα ορθογώνια τρίγωνα $OAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OST$ είναι και ισοσκελή .

Α; είναι AB = AC = k

. Η ημιπερίμετρος του $\vartriangle ABC$ είναι $s = k\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα και τον κλασικού που δίδει το εμβαδόν του έχω: $\dfrac{1}{2}{k^2} = 2k\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \Rightarrow k = 4\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \Rightarrow k = 2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)$ $\left( 1 \right)$
Τώρα από το Θ. διχοτόμου έχω : $OS = \dfrac{{{k^2}}}{{k + k\sqrt 2 }} = \dfrac{k}{{1 + \sqrt 2 }} = k\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ και άρα λόγω της $\left( 1 \right)$ , $OS = 2\sqrt 2$ και άρα :

$\boxed{T{S_{\min }} = 4}$

β) Δεν έχω μέγιστη τιμή αλλά άνω φράγμα ίσο με $u = \sqrt {16 + 4} = 2\sqrt 5$ όταν η εφαπτομένη

τείνει να γίνει παράλληλη στον

.

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 30, 2024 12:27 pm Ταλαιπωρημένο τμήμα.pngΣημείο κινείται στον ημιάξονα . Η εφαπτομένη από το προς τον κύκλο :

τέμνει τον , στο σημείο . Ονομάζω την τομή της με τον και την τομή της με τον .

β) Εξετάστε αν υπάρχει μέγιστη τιμή του μήκους του .

β) Κρατάω από την πρώτη μου ανάρτηση ότι OA=x, OB=y, AB=a

και

: Ταλαιπωρημένο τμήμα.b.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

$\displaystyle S{T^2} = O{S^2} + O{T^2} = {x^2}{y^2}\frac{{{{(x + a)}^2} + {{(y + a)}^2}}}{{{{(x + a)}^2}{{(y + a)}^2}}}.$ Από τις παραπάνω σχέσεις και μετά τις πράξεις,

καταλήγω στο $\displaystyle S{T^2} = \frac{{4a(5a + 8)}}{{{{(a + 2)}^2}}}.$ Εύκολα διαπιστώνω ότι η συνάρτηση $\displaystyle f(a) = \frac{{4a(5a + 8)}}{{{{(a + 2)}^2}}}, a>0$

είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } f(a) = 20.$ Οπότε δεν έχουμε μέγιστη τιμή. Είναι όμως $\boxed{ST<\sqrt{20}}$

Ταλαιπωρημένο τμήμα

Ταλαιπωρημένο τμήμα

Re: Ταλαιπωρημένο τμήμα

Re: Ταλαιπωρημένο τμήμα

Re: Ταλαιπωρημένο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση