Τα αποτελέσματα των επαφών

KARKAR · #1

: Τα αποτελέσματα των επαφών.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Από το σημείο : S(4 , -2)

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP , ST

, προς τον κύκλο με εξίσωση :

x^2+y^2=r^2

και ονομάζουμε E , Z

τις τομές των τμημάτων PT , PS

με τον οριζόντιο άξονα .

Αν προκύπτει : PE=PZ

, υπολογίστε : α) την ακτίνα

... β) το τμήμα

... και γ) την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 04, 2024 7:50 am Τα αποτελέσματα των επαφών.pngΑπό το σημείο : φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα , προς τον κύκλο με εξίσωση :

και ονομάζουμε τις τομές των τμημάτων με τον οριζόντιο άξονα .

Αν προκύπτει : , υπολογίστε : α) την ακτίνα ... β) το τμήμα ... και γ) την $\tan\theta$ .

Πρώτα -πρώτα $0 < r < OS = \sqrt {20} = 2\sqrt 5$ . Η πολική,

, του

,έχει εξίσωση, για κάθε σημείο της $M\left( {a,b} \right)$ , $ax + by = {r^2}$ και αφού

Επαληθεύεται από το $S\left( {4, - 2} \right)$ θα ισχύει : $4a - 2b = {r^2}$ δηλαδή έχει εξίσωση για κάθε της σημείο $\left( {x,y} \right)$ , $4x - 2y = {r^2}$

Η προηγούμενη γράφεται : $\boxed{y = 2x - \frac{{{r^2}}}{2}}\,\,\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή δόθηκε ότι PE = PZ

η εξίσωση της $\overline {PZS} \,\,:\,\,y = - 2x + k$ . Για x = 4,y = - 2

: Αποτελέσματα επαφών_Αναλυτική.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Προκύπτει : $\boxed{y = - 2x + 6}\,\,\left( 2 \right)$ . Το

επαληθεύεται από τις , $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$ οπότε : $P\left( {\dfrac{{12 + t}}{8}\,\,,\,\dfrac{{12 - t}}{4}} \right)$ με , $t = {r^2}$ .Το

όμως επαληθεύει και τον κύκλο άρα : ${\left( {\dfrac{{12 + t}}{8}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{12 - t}}{4}} \right)^2} = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t = {r^2} = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ t = {r^2} = 20 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα : $\boxed{r = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}}$ .

Μετά προκύπτουν: $E\left( {\dfrac{9}{5},0} \right)\,\,,\,\,Z\left( {3,0} \right)\,\,,\,\,P\left( {\dfrac{{12}}{5},\dfrac{6}{5}} \right)\,\,,\,\,\boxed{EZ = \dfrac{6}{5}}$ και από το $\vartriangle PEZ$ και Θ. συνημίτονου , $\boxed{\tan \theta = \dfrac{4}{3}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Φεβ 04, 2024 7:50 am Τα αποτελέσματα των επαφών.pngΑπό το σημείο : φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα , προς τον κύκλο με εξίσωση :

και ονομάζουμε τις τομές των τμημάτων με τον οριζόντιο άξονα .

Αν προκύπτει : , υπολογίστε : α) την ακτίνα ... β) το τμήμα ... και γ) την $\tan\theta$ .

Είναι προφανής η ισότητα των γωνιών $\phi$ και θα είναι $\angle \theta =2 \phi$

$tan \phi = \dfrac{KS}{OK} = \dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow tan \theta =tan2 \phi = \dfrac{4}{3} \Rightarrow tan \theta =tan2 \phi = \dfrac{4}{3} = \dfrac{TS}{r} \Rightarrow TS= \dfrac{4r}{3}$

Με OT^2=20

και Π.Θ στο τρίγωνο OTS

παίρνουμε $r= \dfrac{6 \sqrt{5} }{5}$

$tan \phi = \dfrac{PZ}{r}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow PZ= \dfrac{r}{2}$ και με Π.Θ $OZ= \dfrac{r \sqrt{5} }{2}$

$PZ^2=ZH.ZO \Rightarrow \dfrac{r^2}{4}=ZH. \dfrac{r \sqrt{5} }{2} \Rightarrow ZH= \dfrac{r}{2 \sqrt{5} }= \dfrac{3}{5} \Rightarrow EZ= \dfrac{6}{5}$

: Επαφές.png (29.67 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Τα αποτελέσματα των επαφών

Τα αποτελέσματα των επαφών

Re: Τα αποτελέσματα των επαφών

Re: Τα αποτελέσματα των επαφών

Μέλη σε σύνδεση