Τριγωνομετρική εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση
$\text{tg}^{2}(2x)+2\cdot\text{tg}(2x)\cdot\text{tg}(3x)-1=0$
όπου tg είναι η εφ

Κική · #2

Θα τολμήσω να γράψω μια λύση

Πρέπει $cos2x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \kappa \pi \pm \frac{\pi }{4}$

και $cos3x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{2\kappa \pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}$

Θεωρώ τριώνυμο ως προς εφ2χ

Τότε Δ= $4tg^{2}3x+4=\frac{4}{cos^{2}3x}$
Οπότε

$tg2x=\frac{-2tg3x\pm \frac{2}{cos3x}}{2}\Leftrightarrow tg2x=-tg3x\pm \frac{1}{cos3x}$
Α)
$tg2x=-tg3x+\frac{1}{cos3x}\Leftrightarrow \frac{sin2x}{cos2x}=-\frac{sin3x}{cos3x}+\frac{1}{cos3x}\Leftrightarrow sin2xcos3x+sin3xcos2x=cos2x\Leftrightarrow sin5x=cos2x\Leftrightarrow cos2x=cos(\frac{\pi }{2}-5x)\Leftrightarrow 2x=2\kappa \pi +\frac{\pi }{2}-5x\Leftrightarrow x=\frac{2\kappa \pi }{7}+\frac{\pi }{14}$
δεκτές
ή

$2x=2\kappa \pi -\frac{\pi }{2}+5x\Leftrightarrow x=\frac{2\kappa \pi }{3}+\frac{\pi }{6}$
απορρίπτεται

Β)Παρόμοια $x=\frac{2\kappa \pi }{3}-\frac{\pi }{6}$
απορρίπτονται
ή $x=\frac{2\kappa \pi }{7}+\frac{\pi }{14}$
δεκτές

makisman · #3

$tg^{2}\left(2x \right)+2tg\left(2x \right)tg\left(3x \right)=1\Rightarrow$

$tg^{2}\left(2x \right)+2tg\left(2x \right)tg\left(3x \right)+tg^{2}\left(3x \right)=1+tg^{2}\left(3x \right)\Rightarrow$

$\left( tg\left(2x \right)+tg\left(3x \right))^2=1+tg^{2}\left(3x \right)\Rightarrow$

$(tg(2x \right)+tg\left(3x \right))^2=\frac{1}{cos^2(3x)}\Rightarrow$

$tg(2x)+tg(3x) \right=\frac{1}{cos(3x)}$ ή $tg(2x)+tg(3x) \right=-\frac{1}{cos(3x)} \Rightarrow$

$\frac{sin(2x)}{cos(2x)}+\frac{sin(3x)}{cos(3x)}=\frac{1}{cos(3x)}\Rightarrow$

sin(2x)cos(3x)+sin(3x)cos(2x)=cos(2x)

ή $sin(2x)cos(3x)+sin(3x)cos(2x)=-cos(2x)\Rightarrow$

sin(5x)=cos(2x)

ή $sin(5x)=-cos(2x)\Rightarrow$

$sin(5x)=sin(\frac{\pi }{2}-2x)$ ή $sin(5x)=sin(\frac{-\pi }{2}+2x)=>$ .......

ισχυουν οι περιορισμοί της κικής φυσικά

mathxl · #4

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Μια άλλη αντιμετώπιση (οι περιορισμοί είναι φυσικά ίδιοι)

Λύνουμε ως προς tg3x (εύκολα διαπιστώνουμε ότι εφ2χ<>0) και έχουμε
$\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}(2x) + 2\cdot\varepsilon \varphi (2x)\cdot\varepsilon \varphi (3x) - 1 = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\varepsilon \varphi 3x = \frac{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}(2x)}}{{2\varepsilon \varphi (2x)}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 3x = \frac{1}{{\varepsilon \varphi \left( {4x} \right)}} \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\varepsilon \varphi 3x = \sigma \varphi \left( {4x} \right) \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 3x = \varepsilon \varphi \left( {\frac{\pi }{2} - 4x} \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{3x = k\pi + \frac{\pi }{2} - 4x \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{7} + \frac{\pi }{{16}},k \in Z}$
που είνα δεκτές

Τριγωνομετρική εξίσωση

Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση