Μια παράσταση με φυσικούς αριθμούς

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2024 1:36 am
Δίνεται η παράσταση ${{3}^{4n+1}}+10\cdot {{3}^{2n}}-13$ . Αποδείξτε ότι ο αριθμός που θα προκύψει απ’ αυτήν για κάθε $n\in {{N}^{*}}$ ,

διαιρείται από το .

Αν $A_n={{3}^{4n+1}}+10\cdot {{3}^{2n}}-13$ , εύκολα ελέγχουμε ότι $A_{n+1} = 3^4A_n+80(13-3^{2n+2}) \, (*)$ . Πράγματι το δεξί μέλος είναι

$3^4({{3}^{4n+1}}+10\cdot {{3}^{2n}}-13)+80(13-3^{2n+2}) =$

$= ({{3}^{4n+5}}+10\cdot {{3}^{2n+2}}-13) + (- 10 \cdot 3 ^{3n+2}+13) +(9\cdot 10\cdot 3^{2n+2} -3^4\cdot 13) + 80(13-3^{2n+2})$

$= {{3}^{4n+5}}+10\cdot {{3}^{2n+2}}-13 = A_{n+1}$

To ζητούμενο έπεται τώρα επαγωγικά: Για n=1

είναι $A_1=320=4\cdot 80$ , και το επαγωγικό βήμα είναι άμεσο από την (*)

.

#3

Άλλος τρόπος είναι με την παραγοντοποίηση

${{3}^{4n+1}}+10\cdot {{3}^{2n}}-13 = (3\cdot {{3}^{2n}}+13)({{3}^{2n}}-1)$ .

Αφήνω τις λεπτομέρειες ως απλές. Σημειώνω μόνο ότι ο παράγοντας $3^ {2n}-1$ είναι πολλαπλάσιο του

αλλά για άρτιο

είναι πολλαπλάσιο του

.

Μια παράσταση με φυσικούς αριθμούς

Μια παράσταση με φυσικούς αριθμούς

Re: Μια παράσταση με φυσικούς αριθμούς

Re: Μια παράσταση με φυσικούς αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση