Διάμεσος κάθετη

[Doloros]

Η διάμεσος κάθετη_mathematica.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

.

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα , Ας είναι τυχαίο σημείο του μικρού τόξου .

Αν οι προβολές του στις και το μέσο της χορδής , Δείξετε ότι : .

Όλες οι λύσεις δεκτές

[george visvikis]

Η διάμεσος κάθετη_mathematica.png

.

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα , Ας είναι τυχαίο σημείο του μικρού τόξου .

Αν οι προβολές του στις και το μέσο της χορδής , Δείξετε ότι : .

Όλες οι λύσεις δεκτές

Εκτός φακέλου. Από το εγγράψιμο οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα και οι συμπληρωματικές τους

θα είναι ίσες. Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Διάμεσος κάθετη.png (23.95 KiB) Προβλήθηκε 1258 φορές

Πράγματι, αν η τέμνει την στο τότε προφανώς η είναι η συμμετροδιάμεσος του οπότε

οι μπλε γωνίες είναι ίσες, άρα και οι κόκκινες (ως κατακορυφήν των αντίστοιχων μπλε) και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

[Μιχάλης Νάννος]

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα , Ας είναι τυχαίο σημείο του μικρού τόξου .

Αν οι προβολές του στις και το μέσο της χορδής , Δείξετε ότι : .

Όλες οι λύσεις δεκτές

shape.png (29.21 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές

Έστω .

Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα γιατί οι ίσες πλευρές φαίνονται υπό ορθές γωνίες.

Οι γωνίες είναι ίσες από χορδή και εφαπτομένη, από τη διχοτόμο καθώς και από τα παραπάνω εγγράψιμα.

Εύκολα συμπεραίνουμε πως τα τρίγωνα είναι όμοια, άρα είναι ορθογώνια.

Τέλος, το είναι το ορθόκεντρο του , συνεπώς .