Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

#1

: Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 2389 φορές

Η διάμεσος

ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος

στο

και έστω

η προβολή του

στην

Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων AE, AP, EC

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη

συνέχεια αποδείξτε ότι η

διέρχεται από το μέσο

του ύψους.

#2

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 27, 2024 11:54 am Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png
Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος στο και έστω η προβολή του

στην Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη

συνέχεια αποδείξτε ότι η διέρχεται από το μέσο του ύψους.

α) Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ στα $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ .

Προφανώς , AE = FT = TP

( κεντρική δέσμη γάρ) . Ζητώ να δείξω ότι ${y^2} = x\left( {b - x} \right) \Leftrightarrow {y^2} = bx - {x^2}\,\,\left( 1 \right)$ .

: Διαδοχικοί όροι γ_π_a.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 2314 φορές

Αλλά επειδή το ETDC

εγγράψιμο θα ισχύει : $y\left( {y + z} \right) = bx \Leftrightarrow {y^2} = bc - yz\,\,\,\left( 2 \right)$ . Αρκεί λόγω της $\left( 1 \right)$ να δείξω ότι :

${x^2} = yz \Leftrightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{z}{\kern 1pt} \,\,\,\left( 3 \right)$ . Αλλά $\vartriangle ABC \approx \vartriangle FTA \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{a}{c}$ άρα λόγω της $\left( 3 \right)$ αρκεί να δείξω ότι : $\boxed{\dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{z}}$ που προφανώς ισχύει

γιατί το $\vartriangle ABC \approx \vartriangle DTP$ .

Συνεχίζεται

Στο α ερώτημα έδειξα ότι : $\dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{z}\,\,\left( * \right)$

Έτσι από τα ορθογώνια τρίγωνα $ABE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBT$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{x}{c} \hfill \\ \tan \omega = \frac{z}{{BD}} = \frac{{az}}{{aBD}} = \frac{{az}}{{{c^2}}} = \frac{a}{c} \cdot \frac{z}{c} = \frac{x}{z} \cdot \frac{z}{c} = \frac{x}{c} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Διαδοχικοί όροι γ_π_δεύτερο ερώτημα.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 2300 φορές

Δηλαδή οι οξείες γωνίες $\theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\omega$ είναι ίσες .

Στο ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ η διάμεσος

προς την κάθετη πλευρά του

σχηματίζει με την υποτείνουσα του

γωνία $\omega$ .

Στο ορθογώνιο $\vartriangle DBA$ η

( με το

στην κάθετη πλευρά) σχηματίζει με την υποτείνουσα του

γωνία $\theta = \omega$

Άρα η

είναι η ομόλογη διάμεσος , αφού προφανώς $\vartriangle ABC \approx \vartriangle DBA$ . Δηλαδή το

είναι μέσο του ύψους

του $\vartriangle ABC$ .

Προφανώς η είναι η από το συμμετροδιάμεσος του $\vartriangle ABC$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 27, 2024 11:54 am Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png
Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος στο και έστω η προβολή του

στην Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη

συνέχεια αποδείξτε ότι η διέρχεται από το μέσο του ύψους.

A) Με $PZ//BC \Rightarrow PZ \bot AD$ και $\dfrac{AE}{AN}= \dfrac{BP}{BN}= \dfrac{CZ}{CN} \Rightarrow AE=CZ \Rightarrow AZ=EC$

Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο $APZ \Rightarrow AP^2=AE.AZ \Rightarrow AP^2=AE.EC$

B)Είναι $\triangle APZ \simeq \triangle ABD \simeq ABC \simeq \triangle APE \Rightarrow \dfrac{AE}{BD} = \dfrac{AP}{AB} (1)$ και $\dfrac{BC}{AZ} = \dfrac{AB}{AP} \Rightarrow \dfrac{BC}{EC}= \dfrac{AB}{AP}(2)$

(αφού AZ=EC

)

O Μενέλαος στο τρίγωνο ADC

με διατέμνουσα EMB

δίνει $\dfrac{AM}{MD}= \dfrac{AE}{BD}. \dfrac{BC}{EC}= \dfrac{AP}{AB}. \dfrac{AB}{AP}=1$

(λόγω των (1),(2))

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: Δ.Ο.Γ.Π.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 2257 φορές

#4

Ευχαριστώ τους φίλους Νίκο και Μιχάλη για τις λύσεις τους

Doloros έγραψε: Κυρ Απρ 28, 2024 2:20 am
Προφανώς η είναι η από το συμμετροδιάμεσος του $\vartriangle ABC$ .

Με αυτό ακριβώς το σκεπτικό κατασκευάστηκε η άσκηση. Στηρίχτηκε στην παρατήρηση ότι σε κάθε
ορθογώνιο τρίγωνο το ύψος προς την υποτείνουσα είναι συμμετροδιάμεσος και το μέσον του είναι
το σημείο $\rm Lemoine$ του τριγώνου. Τα υπόλοιπα είναι κοπτοραπτική.

Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Re: Διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Μέλη σε σύνδεση