Όριο με αρχική

#1

Αν η $\displaystyle F$ είναι μια αρχική της $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ , να βρείτε το $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( F(x+1)-F(x) \right)$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

exdx έγραψε: Τετ Μάιος 22, 2024 11:55 am Αν η $\displaystyle F$ είναι μια αρχική της $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$ , να βρείτε το $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( F(x+1)-F(x) \right)$

Για κάθε

ισχύει:

$2<f(x)<\dfrac{2x+1}{x}\Leftrightarrow 2<f(x)<2+\dfrac{1}{x}.$

Επίσης

$\displaystyle{F(x+1)-F(x)=\int_{x}^{x+1}f(t)dt.}$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουμε

$\displaystyle{\int_{x}^{x+1}2dt<F(x+1)-F(x)<\int_{x}^{x+1}2+\frac{1}{t}dt}$

$\Rightarrow 2<F(x+1)-F(x)<2+\ln \left ( \dfrac{x+1}{x} \right ).$

Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει τελικά ότι

$\lim_{x\rightarrow\infty }F(x+1)-F(x)=2.$

Gr.K-D · #3

Μαθητική λύση μαθητή γ λυκείου.

Όριο με αρχική

Όριο με αρχική

Re: Όριο με αρχική

Re: Όριο με αρχική

Μέλη σε σύνδεση