Ολοκλήρωμα του αθροίσματος ριζών

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$

Ορίζουμε τη συνάρτηση $S\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $S(\lambda)=\displaystyle\sum\{x\in\mathbb{R}|f(x)=\lambda\}$

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\int_{-90}^{54}S(\lambda)d\lambda$

Σημείωση
Το $S(\lambda)$ είναι το άθροισμα των στοιχείων του συνόλου των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f(x)=\lambda$

#2

Έχουμε

$\displaystyle \int_{-6}^{6} S(f(u))f'(u) \,\mathrm{d}u = \int_{f(-6)}^{f(6)} S(\lambda) \,\mathrm{d}\lambda = I$

Παρατηρούμε επίσης ότι

$\displaystyle \displaystyle{f(x) = f(u) \iff \frac{x^3-u^3}{3} - \frac{x^2-u^2}{2} = 0 \iff \frac{(x-u)(2(x^2+xu+u^2)-3(x+u))}{6} = 0}$

Άρα S(f(u)) = u

αν το

δεν έχει πραγματικές ρίζες και (από Vieta) S(f(u)) = 3/2

αν το

έχει (διαφορετικές) πραγματικές ρίζες. Θα δούμε αργότερα ότι υπάρχουν μόνο δύο τιμές του

όπου το

έχει πραγματικές και ίσες ρίζες οπότε εκεί δεν θα αλλάξει το αποτέλεσμα η τιμή του S(f(u))

.

To

έχει πραγματικές και άνισες ρίζες αν και μόνο αν (2u-3)^2 -8(2u^2-3u) > 0

. Καταλήγουμε στην εξίσωση 12u^2-12u + 9 < 0

που ισχύει αν και μόνο αν $u \in (-1/2,3/2)$ .

Άρα
$\displaystyle \begin{aligned} I &= \int_{-6}^{-1/2} u(u^2-u) \,\mathrm{d}u + \int_{-1/2}^{3/2} \frac{3}{2}(u^2-u) \,\mathrm{d}u + \int_{3/2}^{6} u(u^2-u) \,\mathrm{d}u \\ &= \left[\frac{u^4}{4} - \frac{u^3}{3} \right]_{-6}^{-1/2} + \frac{3}{2}\left[\frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} \right]_{-1/2}^{3/2} + \left[\frac{u^4}{4} - \frac{u^3}{3} \right]_{3/2}^{6} \\ &= \left(\frac{1}{64}+\frac{1}{24} - \frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{9}{8} - \frac{9}{8} + \frac{1}{24}+\frac{1}{8} \right) + \left(\frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3} - \frac{81}{64}+\frac{9}{8}\right) \\ &= -2 \cdot \frac{6^3}{3} - \frac{80}{64} + \frac{28}{24} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{24} \\ &= -144 - \frac{5}{4} + \frac{7}{6} + \frac{1}{4} = -144+\frac{1}{6} = -\frac{863}{6} \end{aligned}$

Ολοκλήρωμα του αθροίσματος ριζών

Ολοκλήρωμα του αθροίσματος ριζών

Re: Ολοκλήρωμα του αθροίσματος ριζών

Μέλη σε σύνδεση