Quickie με πρώτους αριθμούς

ksofsa · #1

Έστω

ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που διαιρεί τον

.

Να δειχθεί ότι η ακολουθία $a_{n}=f(p_{n}+1)$
δεν είναι φραγμένη, όπου $p_{n}$ η ακολουθία των πρώτων αριθμών.

archuserbtw · #2

Έστω πως η (a_n)

είναι φραγμένη. Διαλέγουμε το μεγαλύτερο δυνατό

, ώστε $a_1 \ne a_2 \ne \dots \ne a_m$ (αν είναι αναγκαίο, παίρνουμε αναδιάταξη της ακολουθίας). Θεωρούμε τον αριθμό $N = ka_1a_2 \dots a_m + 1$ , όπου

θετικός ακέραιος. Από θεώρημα Dirichlet, το

θα είναι πρώτος άπειρες φορές, όσο το

διατρέχει το $\mathbb{N}$ . Για ένα τέτοιο

, ο αριθμός N + 1 = p_i + 1

για κάποιο

, αλλά δεν διαιρείται από κανέναν πρώτο στο (a_n)

(εκτός από το 2, το οποίο όμως αποκλείεται να είναι ο μεγαλύτερος πρώτος που το διαιρεί). Έπεται λοιπόν πως $f(N + 1) \not\in (a_n)$ , που αντιβαίνει στην υπόθεση.

ksofsa · #3

Καλώς ήλθατε στο mathematica. Σας ευχαριστώ για τη λύση. Καλή συνέχεια.

Quickie με πρώτους αριθμούς

Quickie με πρώτους αριθμούς

Re: Quickie με πρώτους αριθμούς

Re: Quickie με πρώτους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση