Quickie με πρώτους αριθμούς 2

ksofsa · #1

Έστω

ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που διαιρεί τον

.

Δείξτε ότι η ακολουθία $a_{n}=f(p_{n}-n)$ δεν είναι φραγμένη, όπου $p_{n}$ η ακολουθία των πρώτων αριθμών.

ksofsa · #2

Καλημέρα.

Δίνω σε απόκρυψη, ως υπόδειξη, την πληροφορία-κλειδί, πάνω στην οποία βασίστηκε και η κατασκευή της άσκησης.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ksofsa έγραψε: Κυρ Ιουν 23, 2024 6:39 am Έστω ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που διαιρεί τον .

Δείξτε ότι η ακολουθία $a_{n}=f(p_{n}-n)$ δεν είναι φραγμένη, όπου $p_{n}$ η ακολουθία των πρώτων αριθμών.

Αν ήταν φραγμένη θα υπήρχε $p_{k},$ πρώτος που για κάθε

, $a_{n}=f(p_{n}-n) \leq p_k$ .
Αν πάρουμε $n=p_{1}p_{2}....p_{k}$
έχουμε ΑΤΟΠΟ.

ksofsa · #4

Γεια σας κύριε Σταύρο,

Σάς ευχαριστώ για τη λύση.

Προόριζα την άσκηση για να λυθεί με την εφαρμογή του εξής γενικότερου συμπεράσματος, στο οποίο κατέληξα:

Αν για τη γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών $a_{n}$ ισχύει $a_{n}\leq p_{n}$ , τότε η $f(a_{n})$ δεν είναι φραγμένη,

ή ακόμη γενικότερα,

Αν για τη γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών $a_{n}$ ισχύει $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{a_{n}}=\infty$
, τότε η $f(a_{n})$ δεν είναι φραγμένη.

Η απόδειξη πάει ως εξής:

Αν η $f(a_{n})$ είναι φραγμένη, τότε για κάποιο

, $a_{n}\in \left \{ p_{1}^{n_{1}}...p_{k}^{n_{k}} \mid n_{1},n_{2},...,n_{k}\in \mathbb{N}\right \}$ .

Επομένως, $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{a_{n}}< \prod_{r=1}^{k}(\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{1}{p_{r}^{n}})< +\infty$ , άτοπο.

Στην περίπτωση της άσκησης η ακολουθία είναι η $p_{n}-n$ .

Quickie με πρώτους αριθμούς 2

Quickie με πρώτους αριθμούς 2

Re: Quickie με πρώτους αριθμούς 2

Re: Quickie με πρώτους αριθμούς 2

Re: Quickie με πρώτους αριθμούς 2

Μέλη σε σύνδεση