Ορισμός κύκλου

[Al.Koutsouridis]

Στο σχολικό βιβλίο δίνεται ο ορισμός:

Κύκλος με κέντρο και ακτίνα λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το απόσταση ίση με .

Εξετάστε αν το παρακάτω σχήμα είναι κύκλος.

geogebra-export_kuklos.png (72.51 KiB) Προβλήθηκε 3217 φορές

[Nikitas K.]

Στο σχολικό βιβλίο δίνεται ο ορισμός:

Κύκλος με κέντρο και ακτίνα λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το απόσταση ίση με .

Εξετάστε αν το παρακάτω σχήμα είναι κύκλος.


geogebra-export_kuklos.png

Όμως η αμέσως επόμενη περίοδος λέει
«Δεχόμαστε ότι ο κύκλος είναι μία κλειστή γραμμή χωρίς διακοπές και κενά.»

Επομένως το σχήμα δεν είναι κύκλος.

[nickolas tsik]

Καλησπέρα,όχι επειδή η παραπάνω αποτύπωση δεν απεικονίζει το σύνολο των σημείων του επιπέδου με απόσταση μικρότερη ή ίση του r απο το Ο

[Al.Koutsouridis]

[
Όμως η αμέσως επόμενη περίοδος λέει
«Δεχόμαστε ότι ο κύκλος είναι μία κλειστή γραμμή χωρίς διακοπές και κενά.»

Επομένως το σχήμα δεν είναι κύκλος.

Το σχόλιο νομίζω δεν αναφέρεται για να επιδιορθώσει τον ορισμό. Ακόμα και αν ήταν σωστός ο ορισμός, αυτό το σχόλιο χρειάζεται για την απεικόνιση του σχήματος με την συγκεκριμμένη ιδιότητα, αλλά και να αναδείξουμε μια ιδιότητα η οποία είναι δύσκολο να αποδειχθεί (συνέχεια της καμπύλης), την οποία και δεχόμαστε όπως λέει το βιβλίο.

[Nikitas K.]

Συμφωνώ ότι ο ορισμός του κύκλου της Α' λυκείου είναι λάθος διατυπωμένος -προηγουμένως έκανα τον συνήγορο του διαβόλου.

Η δημοσίευση «Ορισμός κύκλου» θέλει να αναδείξει ότι:

Σύμφωνα με τον ορισμό του κύκλου της Α' λυκείου το σχήμα θα χαρακτηριζόταν κύκλος, αφού όσα σημεία του επίπεδου σχήματος εμφανίζονται -εκτός του σημείου - απέχουν απόσταση από το σημείο .

Αντιθέτως με τον ορισμό του κύκλου της Α' Γυμνασίου «Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο.» το σχήμα δεν θα χαρακτηριζόταν κύκλος, αφού υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου το οποίο απέχει απόσταση από το σημείο και δεν ανήκει στο σχήμα.

[stranger]

Η σωστή διατύπωση είναι ο γεωμετρικός τόπος που σχηματίζεται από τα σημεία που απέχουν απόσταση από ένα δοθέν σημείο.
Μην είμαστε όμως τόσο φορμαλιστές. Δεν βοηθάει.

[Nikitas K.]

Αν επιτρέπεται θεωρώ πλήρη τον παρακάτω ορισμό:

Κύκλος, ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο και δεν ταυτίζονται με την προβολή του στο επίπεδο .

[stranger]

Αν επιτρέπεται θεωρώ πλήρη τον παρακάτω ορισμό:

Κύκλος με κέντρο το σημείο και θετική ακτίνα , ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου που ισαπέχουν θετική απόσταση από ένα σημείο και η προβολή αυτού στο επίπεδο με τα υπόλοιπα σημεία είναι το σημείο το οποίο απέχει απόσταση από τα σημεία του επιπέδου.

Ναι πάντα μιλάμε για το επίπεδο.
Δεν χαρακτηρίζει μοναδικά τον κύκλο ο ορισμός που έδωσα;

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου:
Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο),
"Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς (Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές) περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὁς σημείου τῶν εντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ίσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Καλό θα είναι (πάντα κατά τη ημέτερη άποψη) όλοι οι ορισμοί όσο και αν μετατρέπονται δίκην "διδακτικής αδείας" απαγορεύεται επιστημονικώς ρητά να αλλοιώνουν τον γηγενή ορισμό ως προς την λειτουργία του.

[stranger]

Καλό θα είναι (πάντα κατά τη ημέτερη άποψη) όλοι οι ορισμοί όσο και αν μετατρέπονται δίκην "διδακτικής αδείας" απαγορεύεται επιστημονικώς ρητά να αλλοιώνουν τον γηγενή ορισμό ως προς την λειτουργία του.

Αναφέρεστε σε κάτι συγκεκριμένο η είναι ένα γενικό σχόλιο;

[S.E.Louridas]

Καλό θα είναι (πάντα κατά τη ημέτερη άποψη) όλοι οι ορισμοί όσο και αν μετατρέπονται δίκην "διδακτικής αδείας" απαγορεύεται επιστημονικώς ρητά να αλλοιώνουν τον γηγενή ορισμό ως προς την λειτουργία του.

Αναφέρεστε σε κάτι συγκεκριμένο η είναι ένα γενικό σχόλιο;

Είναι ένα γενικό σχόλιο με βάση την μαθηματική των πραγμάτων αντίληψη, όπου ή αναφέρομαι σε ένα γηγενή ορισμό που λειτουργεί ως τέτοιος ή αλλοιώνουμε κατά τι ώστε να πάμε σε άλλα περιβάλλοντα ακρίβειας μεν αλλά όχι ταυτοσημότητας. Για παράδειγμα αν ξεφύγουμε λίγο από τον ορισμό της ευθείας γραμμής κατά Ευκλείδη και ορίσουμε την ευθεία γραμμή μέσω καμπυλότητας, τότε μπορούμε να πάμε στην υπερβολική γεωμετρία, όπου από δοθέν σημείο δυνατόν να έχουμε άπειρες παράλληλες προς δοθείσα ευθεία. Με τις εδώ στους στόχους του mathematica επιφυλάξεις μου, αν και ως συνοδός των Ελληνικών Μαθηματικών ομάδων είχα την ευκαιρία να έχουν συζητηθεί τέτοια θέματα με Μαθηματικούς όπως οι κκ Αντέσκου, Γκούτσμα, Μιχαιλέσκου, Τόνωφ κτλ. με την έννοια να μην το παρακάνουμε γιατί δεν εξυπηρετεί. Όμως κατά τον Ευκλείδη άλλο γραμμή (με ενυπάρχουσα την μεταγενέστερη έννοια της συνέχειας) και άλλο σύνολα σημείων ή τμημάτων γραμμών που για να μεταβούμε από το μεν στο δε αναγκαζόμαστε να "σηκώσουμε" τη μύτη του μολυβιού.

[nsmavrogiannis]

Στο σχολικό βιβλίο δίνεται ο ορισμός:

Κύκλος με κέντρο και ακτίνα λέγεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το απόσταση ίση με .
...
geogebra-export_kuklos.png

Α) Ο ορισμός προφανώς είναι προβληματικός. Δεν ξέρω για ποιό λόγο εισήχθη. Αυτό που κάνει εντύπωση είναι ότι και το αμέσως προηγούμενο βιβλίο το οποίο το παρόν ανατικατέστησε είχε ακριβώς τον ίδιο ορισμό. Στα 4 προηγούμενα σχολικά βιβλία Θεωρητικής Γεωμετρίας (Αλιμπινίση κ.α. Παπαμιχαήλ-Σκιαδά, Παπανικολάου, Ιωαννίδη) τα πράγματα ήταν εντάξει. Πρόβλημα εμφανίζεται ξανά στο σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας ης εποχής μου (Νικολάου) όπου γράφει:
Κύκλος είναι εν μέρος επιπέδου του οποίου εν σημείον απέχει ίσον από όλα τα σημεία της γραμμής εις την οποίαν περατούται.
Β) Πειράζει που ορισμός δεν είναι πλήρης; Κατά την γνώμη μου ναι. Στα Μαθηματικά οι έννοιες χωρίζονται σε εκείνες που είναι χωρίς ορισμό και σε εκείνες έχουν ορισμό. Στα σχολικά Μαθηματικά οι τελευταίες χωρίζονται σε εκείνες που θα δώσουμε τον ορισμό τους και σε εκείνες που για παιδαγωγικούς λόγους θα αποφύγουμε να ορίσουμε. Αυτή η αποφυγή είναι μια απόφαση που αλλάζει ανάλογα με την εποχή. τα προγράμματα τα βιβλία. Για παράδειγμα είναι δύσκολο έως αδύνατον στα σχολικά Μαθηματικά να ορίσουμε τα συστήματα αριθμών , , , , τις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη, τον κ.α. Αυτά τα περιγράφουμε και κανονικά λέμε εντίμως στα παιδιά ότι δεν τα ορίζουμε λόγω δυσκολιών. Αλλά ότι ορίζεται πρέπει να συνδέεται με τον ορισμό του. Αν μη τι άλλο ως ένδειξη σεβασμού στην ουσία της Τέχνης μας και στην λογική των παιδιών
Γ) Αξίζει τον κόπο κάποιος να κάνει το εξής νοητικό πείραμα. Ας "ορίσει" στο βιβλίο της Γ Λυκείου ως κλειστό διάστημα με άκρα τους πραγματικούς αριθμούς τo σύνολο του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μεγαλύτερα ή ίσα του και μικρότερα ή ίσα του και ας προχωρήσει με αυτό τον ορισμό στα θεωρήματα που υπάρχουν πιο κάτω.

[Al.Koutsouridis]

Α) Ο ορισμός προφανώς είναι προβληματικός. Δεν ξέρω για ποιό λόγο εισήχθη.

Β) Πειράζει που ορισμός δεν είναι πλήρης; Κατά την γνώμη μου ναι.

Αυτές πάνω κάτω ήταν οι σκέψεις μου και θεώρησα σκόπιμο να αναδείξω το θέμα, αλλά και να εκφράσω την έκπληξή μου, ότι τόσα χρόνια δεν έχει διορθωθεί.

Ένα δεύτερο σχόλιο, με αφορμή αυτόν τον ορισμό, που θα ήθελα να κάνω είναι η χρήση της λέξης σύνολο.

Στην ανακεφαλαίωση του κεφαλαίου με τα βασικά γεωμετρικά σχήματα το βιβλίο αναφέρει "Ο κύκλος ορίστηκε ως το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το σημείο , απόσταση ".

Η λέξη σύνολο εμφανίζεται στην ουσία στο βιβλίο δυο φορές (αν εξαιρέσει κανείς το παράρτημα).

Η μια είναι στον ορισμό της επιφάνειας "Το σύνολο των σημείων τα οποία το χωρίζουν από το περιβάλλον του ονομάζεται επιφάνεια του σώματος".

Η άλλη είναι στον ορισμό του γεωμετρικού τόπου "Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα λέγεται γεωμετρικός τόπος."

Όμως δεν διευκρινίζεται αν το σύνολο στο κείμενο αναφέρεται ως μαθηματική έννοια ή απλά σαν λέξη. Παράλληλα στην άλγεβρα της Α' Λυκείου ο μαθητής μαθαίνει για την έννοια του συνόλου, οπότε ασυναίσθητα κατανοείται ως μαθηματική έννοια. Είναι λοιπόν μια από τις βασικές, πρωταρχικές έννοιες το σύνολο για την δομή της γεωμετρίας; όπως το σημείο κτλ.

[Nikitas K.]

Όλοι οι ορισμοί -οποιασδήποτε έννοιας- που χρησιμοποιούν άμεσα ή έμμεσα τον αφελή ορισμό συνόλου (της Α' λυκείου) είναι παράτυποι.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Ένα δεύτερο σχόλιο, με αφορμή αυτόν τον ορισμό, που θα ήθελα να κάνω είναι η χρήση της λέξης σύνολο.

Στην ανακεφαλαίωση του κεφαλαίου με τα βασικά γεωμετρικά σχήματα το βιβλίο αναφέρει "Ο κύκλος ορίστηκε ως το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το σημείο , απόσταση ".

Η λέξη σύνολο εμφανίζεται στην ουσία στο βιβλίο δυο φορές (αν εξαιρέσει κανείς το παράρτημα).

Η μια είναι στον ορισμό της επιφάνειας "Το σύνολο των σημείων τα οποία το χωρίζουν από το περιβάλλον του ονομάζεται επιφάνεια του σώματος".

Η άλλη είναι στον ορισμό του γεωμετρικού τόπου "Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα λέγεται γεωμετρικός τόπος."

Όμως δεν διευκρινίζεται αν το σύνολο στο κείμενο αναφέρεται ως μαθηματική έννοια ή απλά σαν λέξη. Παράλληλα στην άλγεβρα της Α' Λυκείου ο μαθητής μαθαίνει για την έννοια του συνόλου, οπότε ασυναίσθητα κατανοείται ως μαθηματική έννοια. Είναι λοιπόν μια από τις βασικές, πρωταρχικές έννοιες το σύνολο για την δομή της γεωμετρίας; όπως το σημείο κτλ.

Δεν είμαι ειδικός της μαθηματικής λογικής, αλλά η ερώτηση είναι πολύ σημαντική και ενδιαφέρουσα. Ελλείψει απαντήσεων θα τολμήσω να δώσω δύο-τρεις κατευθύνσεις κινδυνεύοντας να δαγκώσω μπουκιά πιο μεγάλη από τη μασέλα μου!

Η έννοια του συνόλου εκτός από πρωταρχική, είναι άρρηκτα δεμένη με την ίδια τη (μαθηματική) λογική
γιατί είναι το κατ' εξοχήν εργαλείο ερμηνείας των μαθηματικών θεωριών.

Ωστόσο ένα σημαντικό κομμάτι της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (και εν γένει των μαθηματικών)
μπορεί να διατυπωθεί χωρίς σύνολα.

Η διατύπωση του αξιωματικού συστήματος Γεωμετρίας του Hilbert (https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf)
χρησιμοποιεί σύνολα (έχει μεταβλητές όχι μόνο για σημεία, αλλά και για ευθείες και για επίπεδα και χρησιμοποιεί και τη σχέση "ανήκει" μεταξύ σημείων και ευθειών/επιπέδων) αλλά αυτο δεν είναι τελείως αναγκαίο.

Ένα μέρος του συστήματος Γεωμετρίας του Hilbert μπορεί να γραφεί στα πλαίσια της πρωτοβάθμιας λογικής όπως δείχνει το σύστημα του Tarski
(https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms)
στο οποίο υπάρχουν μεταβλητές ΜΟΝΟ για σημεία. Εντός της θεωρίας αυτής δεν υπάρχει τρόπος ένα σημειοσύνολο (π.χ. ευθεία, κύκλος κ.λπ.) να αποτελέσει "υποκείμενο" κάποιας πρότασης της θεωρίας. Αυτά προσεγγίζονται έμμεσα, από τις ιδιότητες που τα χαρακτηρίζουν (δηλαδή οι τύποι της γλώσσας του Tarski ερμηνεύονται ως σημειοσύνολα στη μεταγλώσσα).
Κοντολογίς δεν μελετάμε τα σημειοσύνολα ως "αντικείμενα" αλλα ως τυπικές ιδιότητες/μοτίβα.

Η γλώσσα του Tarski έχει δυο ατομικά κατηγορήματα, ένα εκ των οποίων το με τρεις ελεύθερες μεταβλητές εισάγεται για να ερμηνευθεί ως "το βρίσκεται μεταξύ των " οπότε είναι το "ευθύγραμμο τμήμα" του Tarski! Ενώ το σύνθετο-μοριακό κατηγόρημα

"σημαίνει" ότι τα σημεία είναι διαφορετικά και το είναι συνευθειακό με αυτά και μπορεί να θεωρηθεί ως ο "ορισμός της ευθείας".

Αυτή είναι μια σημαντική υπηρεσία των συνόλων: βοηθούν να "καμουφλάρουμε" τα κατηγορήματα μειώνοντας το φορμαλισμό, καθιστώντας έτσι τις θεωρίες φιλικότερες στο χρήστη. Το πληροφορικό ανάλογο είναι ότι χρησιμοποιώντας σύνολα είναι σαν να γράφουμε σε γλώσσα προγραμματισμού ενώ γράφοντας με κατηγορήματα πηγαίνουμε σε γλώσσα μηχανής. Από αυτή τη χρήση των συνόλων μπορούμε να απαλλαγούμε όπως έκανε ο Tarski με τα σημειοσύνολα του Hilbert.

Δεν μπορούμε όμως να απαλλαγούμε από τα σύνολα τελείως και αυτό γιατί όλη η Γεωμετρία (και τα μαθηματικά εν γένει) δεν είναι πρωτοβάθμια. Για παράδειγμα η ιδιότητα του ανώτερου πέρατος στους πραγματικούς αριθμούς είναι δευτεροβάθμια και η διατύπωσή της απαιτεί εκτός από τις μεταβλητές πραγματικών αριθμών και μεταβλητές για τα υποσύνολα των πραγματικών αριθμών στις οποίες θέλουμε να εφαρμόζονται ποσοδείκτες! Αυτά τα τυπικά σύνολα δεν μπορούμε να τα ξεφορτωθούμε χωρίς απώλεια αποδεικτικής ισχύος! Ειδικά για τη Γεωμετρία το αξίωμα του Αρχιμήδη και το αξίωμα πληρότητας στο αξιωματικό σύστημα του Hilbert δεν επιδέχονται πρωτοβάθμια διατύπωση και αυτό καθιστά τη Γεωμετρία του Hilbert δευτεροβάθμια θεωρία ουσιωδώς ισχυρότερη από αυτή του Tarski.

[stranger]

Θέλω απλά να σχολιάσω ότι μερικές φορές ο υπέρμετρος φορμαλισμός δεν βοηθάει, μάλλον βλάπτει.
Πρέπει να υπάρχει μια ισορροπία μεταξύ φορμαλισμού και διαισθητικής κατανόησης εννοιών.
Δεν μπορούμε να τα ορίσουμε απόλυτα αυστηρά όλα και ούτε και χρειάζεται.
Χρειάζεται μια ισορροπία. Μέτρον άριστον.

[Al.Koutsouridis]

Μην είμαστε όμως τόσο φορμαλιστές. Δεν βοηθάει.

Θέλω απλά να σχολιάσω ότι μερικές φορές ο υπέρμετρος φορμαλισμός δεν βοηθάει, μάλλον βλάπτει.

Προσωπικά δεν άνοιξα το παρόν νήμα επειδή αναζητώ φορμαλισμό. Ο ορισμός του σχολικού βιβλίου διορθώνεται εύκολα χωρίς φορμαλισμούς. Όσο αναφορά την έννοια του συνόλου ως βασική έννοια για την δομή της γεωμετρίας, πάλι δεν τον ανέφερα από σκοπιά αναζήτησης φορμαλισμού, αλλά αν έχει σημασία, πλεονεκτήματα, μειονέκτημα από παιδαγωγικής, διδακτικής άποψης και γενικότερα κατανόησης της γεωμετρίας.

Αν θεωρήσουμε ότι η γεωμετρία έχει ένα δυικό χαρακτήρα, φυσικής και μαθηματικών, όπως συχνά αναφέρεται σε μερικά βιβλία (και υπονοείται και από το σχολικό βιβλίο). Δηλαδή η γεωμετρία ως μέσο κατανόησης της φύσης, του κόσμου γύρο μας των νόμων που το διέπουν (φυσική) και η γεωμετρία ως λογικό κατασκεύασμα, ορισμοί, αξιώματα, κανόνες λογικής (μαθηματικά). Τότε έχει σημασία στην κατανόηση, αντίληψή μας της γεωμετρίας για το τι θα θεωρήσουμε για παράδειγμα, ότι είναι η ευθεία; Ένα σύνολο σημείων ή μια έννοια, αντικείμενο, που απλά ξέρουμε κάποιες ιδιότητες, σχέσεις της με άλλες (αν ένα σημείο βρίσκεται σε αυτήν, από δυο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία κτλ).

Θεωρούμε δυο άτομα, το ένα άτομο έχει όλες τις αισθήσεις, ενώ το δεύτερο δεν έχει την αίσθηση της όρασης και αφής. Στο πρώτο άτομο κατασκευάσουμε μια ευθεία με τον χάρακα στον πίνακα και του επιδεικνύουμε τι εννοούμε με την ευθεία. Στο άτομο αυτό αφήνουμε να αισθανθεί την επιφάνεια του καθρέφτη και του αναφέρουμε ότι αυτό εννοούμε ότι το επίπεδο είναι λείο. Το δεύτερο άτομο δεν έχει αυτές τις δυνατότητες. Και στους δυο αρχίζουμε και διδάσκουμε γεωμετρία. Έχει σημασία στο πως θα την αντιληφθούν, από την μορφή των πρωταρχικών εννοιών που θα χρησιμοποιήσουμε;