Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

S.E.Louridas · #1

Ένα είδος έμπνευσης μετά από μία ... Μαθηματική κουβέντα.

Δίνεται ένα επίπεδο και πάνω σε αυτό μία έλλειψη, ένα ευθύγραμμο τμήμα

, αλλά και το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα.
Μία γωνία $\angle xOy$ σταθερού μέτρου κινείται στο ίδιο δοθέν αυτό επίπεδο. Μπορούμε (πάντοτε ; ) να θεωρήσουμε εφαπτόμενη
της έλλειψης που να τέμνει τις πλευρές Ox, Oy

της γωνίας στα σημεία A, B

αντίστοιχα ώστε
$\displaystyle{\frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OB}} = KL;}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω $\varphi$ το μέτρο της γωνίας $\angle xOy$ και ας υποθέσουμε ότι $0^o<\varphi<180^o$
Έστω ότι η ημιευθεία $O\delta$ είναι η (εσωτερική) διχοτόμος της $\angle xOy$
Για το τμήμα

έστω ότι $K\ne L$

ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Δεν μπορούμε πάντοτε.
Δοθείσης της έλλειψης και της γωνίας
για κάθε τμήμα

αρκούντως μικρού μήκους η επιθυμητή εφαπτομένη της έλλειψης δεν υπάρχει.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

#1. Αναγωγή στη διχοτόμο
Χρησιμοποιούμε το εξής αποτέλεσμα,
ότι για οποιαδήποτε σημεία A,B

με $A\in Ox$ , $B\in Oy$ και $A,B\ne O$
αν

το σημείο τομής του τμήματος

με την $O\delta$ τότε
$\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}=\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}$

Συνέπεια τούτου είναι ότι αν υπάρχουν σημεία $A^\prime,B^\prime$ με $A^\prime\in Ox$ , $B^\prime\in Oy$ και $A^\prime,B^\prime\ne O$
ώστε $\dfrac{1}{OA^\prime}+\dfrac{1}{OB^\prime}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ τότε η $O\delta$ και τα τμήματα

, $A^\prime B^\prime$ συντρέχουν στο

Οπότε αν θέλουμε η παράσταση $\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ να "πιάσει" μια δεδομένη τιμή στο $(0,+\infty)$ (εν προκειμένω

)
χρειαζόμαστε μια τέμνουσα των πλευρών της $\angle xOy$
που να διέρχεται από το κατάλληλο σημείο

της $O\delta$

#2. Αναγκαίο
Χρησιμοποιούμε το εξής αποτέλεσμα, ότι από σημείο στο εξωτερικό της έλλειψης άγονται ακριβώς δυο εφαπτομένες προς αυτήν.
'Εστω ότι έχουμε την έλλειψη, τη γωνία και το τμήμα

. Αν υπάρχει η ζητούμενη εφαπτομένη τότε αυτή διερχόμενη από τα σημεία A,B

θα τέμνει την $O\delta$ σε ένα σημείο

για το οποίο θα ισχύει $\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$

Βρίσκουμε λοιπόν ότι από το μοναδικό $Q\in O\delta$ για το οποίο θα ισχύει $KL=\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ θα άγεται προς την έλλειψη μια εφαπτομένη που θα τέμνει και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ .

#3. Απάντηση
Θα δείξουμε όμως ότι υπάρχουν σημεία $Q^{\prime\prime}$ της $O\delta$ (σε κάθε περίπτωση τα σημεία "κοντά στο άπειρο" είναι τέτοια!)
από τα οποία οι (δυο) αγόμενες προς την έλλειψη εφαπτομένες δεν τέμνουν και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ .
Αυτό σημαίνει ότι για τα τμήματα με μήκος $\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ^{\prime\prime}}$ δεν θα υπάρχει η ζητούμενη εφαπτομένη!

Στη συνέχεια αναφερόμαστε στο επισυνημμένο σχήμα η ακολουθία κατασκευής του οποίου έχει ως εξής:
Σχεδιάζουμε την $\angle xOy$
(η $O\delta$ ας θεωρηθεί ως ο ημιάξονας μη αρνητικών τετμημένων ενός τυπικού
ορθοκανικού συστήματος το οποίο δεν υπάρχει λόγος να σημειωθεί στο σχήμα).
Θεωρούμε τα σημεία της έλλειψης $P, P^\prime$ με τη μέγιστη και την ελάχιστη τεταγμένη αντίστοιχα.
Θεωρούμε τις εφαπτομένες της έλλειψης στα $P,P^\prime$ ,
έστω αντίστοιχα ότι είναι οι ευθείες PP_1

και $P^\prime P_1^{\prime}$ οι οποίες θα είναι παράλληλες στην $O\delta$

Για τη θέση της έλλειψης υπάρχουν πέντε περιπτώσεις
i) $0 < y_{P^\prime} < y_P$
ii) $0 = y_{P^\prime} < y_P$
iii) $y_{P^\prime} < 0 < y_P$
iv) $y_{P^\prime}< y_P =0$
v) $y_{P^\prime} < y_P <0$

θα εξετάσουμε ενδεικτικά την iii) στην οποία αντιστοιχεί το επισυνημμένο σχήμα.

Η PP_1

τέμνει μόνο την

ενώ τέμνει και την αντικείμενη της

Η $P^\prime P_1^{\prime}$ τέμνει μόνο την

ενώ τέμνει και την αντικείμενη της

Θεωρούμε σημείο

της έλλειψης αρκετά κοντά στο

(για την υπό εξέταση περίπτωση το

πρέπει να επιλεγεί "στα δεξιά" του

)
ώστε η εφαπτομένη της έλλειψης στο

σχηματίζοντας με την PP_1

έστω (προσημασμένη) γωνία $\varphi_1$ να τέμνει:
1) την

2) την $O\delta$ σε ένα σημείο $Q^{\prime\prime}$
3) την αντικείμενη της

(ειδικά γι' αυτό, στο σχήμα αρκεί να θεωρήσουμε $0^o < - {\varphi_1} < \frac{\varphi}{2}$

Η $\varphi_1$ σε απόλυτη τιμή μπορεί να ληφθεί επαρκώς μικρή ώστε η δεύτερη εφαπτομένη
από το $Q^{\prime\prime}$ προς την έλλειψη να σχηματίζει (προσημασμένη) γωνία $\varphi_2 >0$ αρκετά μικρή ώστε να τέμνει:
1) την

2) την αντικείμενη της

ημιευθεία (ειδικά γι' αυτό αρκεί $0^o < \varphi_2<\frac{\varphi}{2}$ )

Το $Q^{\prime\prime}$ είναι ένα από τα σημεία της $O\delta$ που αναφέραμε παραπάνω,
δηλαδή ένα σημείο από το οποίο δεν άγονται εφαπτομένες προς την έλλειψη που να τέμνουν
και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ (σε σημείο διάφορο του

)

Στην ύπαρξη ενός τέτοιου $Q^{\prime\prime}$ μπορούμε να καταλήξουμε εξετάζοντας και τις
υπόλοιπες περιπτώσεις οπότε σε αυτό το σημείο η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. $\blacksquare$

S.E.Louridas · #3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Τρί Ιούλ 02, 2024 11:07 pm Έστω $\varphi$ το μέτρο της γωνίας $\angle xOy$ και ας υποθέσουμε ότι $0^o<\varphi<180^o$
Έστω ότι η ημιευθεία $O\delta$ είναι η (εσωτερική) διχοτόμος της $\angle xOy$
Για το τμήμα έστω ότι $K\ne L$

ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Δεν μπορούμε πάντοτε.
Δοθείσης της έλλειψης και της γωνίας
για κάθε τμήμα αρκούντως μικρού μήκους η επιθυμητή εφαπτομένη της έλλειψης δεν υπάρχει.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ

#1. Αναγωγή στη διχοτόμο
Χρησιμοποιούμε το εξής αποτέλεσμα,
ότι για οποιαδήποτε σημεία με $A\in Ox$ , $B\in Oy$ και $A,B\ne O$
αν το σημείο τομής του τμήματος με την $O\delta$ τότε
$\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}=\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}$

Συνέπεια τούτου είναι ότι αν υπάρχουν σημεία $A^\prime,B^\prime$ με $A^\prime\in Ox$ , $B^\prime\in Oy$ και $A^\prime,B^\prime\ne O$
ώστε $\dfrac{1}{OA^\prime}+\dfrac{1}{OB^\prime}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ τότε η $O\delta$ και τα τμήματα , $A^\prime B^\prime$ συντρέχουν στο

Οπότε αν θέλουμε η παράσταση $\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ να "πιάσει" μια δεδομένη τιμή στο $(0,+\infty)$ (εν προκειμένω )
χρειαζόμαστε μια τέμνουσα των πλευρών της $\angle xOy$
που να διέρχεται από το κατάλληλο σημείο της $O\delta$

#2. Αναγκαίο
Χρησιμοποιούμε το εξής αποτέλεσμα, ότι από σημείο στο εξωτερικό της έλλειψης άγονται ακριβώς δυο εφαπτομένες προς αυτήν.
'Εστω ότι έχουμε την έλλειψη, τη γωνία και το τμήμα . Αν υπάρχει η ζητούμενη εφαπτομένη τότε αυτή διερχόμενη από τα σημεία θα τέμνει την $O\delta$ σε ένα σημείο για το οποίο θα ισχύει $\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$

Βρίσκουμε λοιπόν ότι από το μοναδικό $Q\in O\delta$ για το οποίο θα ισχύει $KL=\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ}=\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}$ θα άγεται προς την έλλειψη μια εφαπτομένη που θα τέμνει και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ .

#3. Απάντηση
Θα δείξουμε όμως ότι υπάρχουν σημεία $Q^{\prime\prime}$ της $O\delta$ (σε κάθε περίπτωση τα σημεία "κοντά στο άπειρο" είναι τέτοια!)
από τα οποία οι (δυο) αγόμενες προς την έλλειψη εφαπτομένες δεν τέμνουν και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ .
Αυτό σημαίνει ότι για τα τμήματα με μήκος $\dfrac{2\cos\frac{\varphi}{2}}{OQ^{\prime\prime}}$ δεν θα υπάρχει η ζητούμενη εφαπτομένη!

Στη συνέχεια αναφερόμαστε στο επισυνημμένο σχήμα η ακολουθία κατασκευής του οποίου έχει ως εξής:
Σχεδιάζουμε την $\angle xOy$
(η $O\delta$ ας θεωρηθεί ως ο ημιάξονας μη αρνητικών τετμημένων ενός τυπικού
ορθοκανικού συστήματος το οποίο δεν υπάρχει λόγος να σημειωθεί στο σχήμα).
Θεωρούμε τα σημεία της έλλειψης $P, P^\prime$ με τη μέγιστη και την ελάχιστη τεταγμένη αντίστοιχα.
Θεωρούμε τις εφαπτομένες της έλλειψης στα $P,P^\prime$ ,
έστω αντίστοιχα ότι είναι οι ευθείες και $P^\prime P_1^{\prime}$ οι οποίες θα είναι παράλληλες στην $O\delta$

Για τη θέση της έλλειψης υπάρχουν πέντε περιπτώσεις
i) $0 < y_{P^\prime} < y_P$
ii) $0 = y_{P^\prime} < y_P$
iii) $y_{P^\prime} < 0 < y_P$
iv) $y_{P^\prime}< y_P =0$
v) $y_{P^\prime} < y_P <0$

θα εξετάσουμε ενδεικτικά την iii) στην οποία αντιστοιχεί το επισυνημμένο σχήμα.

Η τέμνει μόνο την ενώ τέμνει και την αντικείμενη της
Η $P^\prime P_1^{\prime}$ τέμνει μόνο την ενώ τέμνει και την αντικείμενη της

Θεωρούμε σημείο της έλλειψης αρκετά κοντά στο
(για την υπό εξέταση περίπτωση το πρέπει να επιλεγεί "στα δεξιά" του )
ώστε η εφαπτομένη της έλλειψης στο σχηματίζοντας με την έστω (προσημασμένη) γωνία $\varphi_1$ να τέμνει:
1) την
2) την $O\delta$ σε ένα σημείο $Q^{\prime\prime}$
3) την αντικείμενη της (ειδικά γι' αυτό, στο σχήμα αρκεί να θεωρήσουμε $0^o < - {\varphi_1} < \frac{\varphi}{2}$

Η $\varphi_1$ σε απόλυτη τιμή μπορεί να ληφθεί επαρκώς μικρή ώστε η δεύτερη εφαπτομένη
από το $Q^{\prime\prime}$ προς την έλλειψη να σχηματίζει (προσημασμένη) γωνία $\varphi_2 >0$ αρκετά μικρή ώστε να τέμνει:
1) την
2) την αντικείμενη της ημιευθεία (ειδικά γι' αυτό αρκεί $0^o < \varphi_2<\frac{\varphi}{2}$ )

Το $Q^{\prime\prime}$ είναι ένα από τα σημεία της $O\delta$ που αναφέραμε παραπάνω,
δηλαδή ένα σημείο από το οποίο δεν άγονται εφαπτομένες προς την έλλειψη που να τέμνουν
και τις δυο πλευρές της $\angle xOy$ (σε σημείο διάφορο του )

Στην ύπαρξη ενός τέτοιου $Q^{\prime\prime}$ μπορούμε να καταλήξουμε εξετάζοντας και τις
υπόλοιπες περιπτώσεις οπότε σε αυτό το σημείο η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. $\blacksquare$

Καλημέρα καλημέρα.
Πραγματικά Ιάσωνα και πάντα κατά την προσωπική μου άποψη, εκπόνησες μία τέλεια Μαθηματική διαπραγμάτευση.

Από την μεριά μου θέλοντας όχι μόνο την ύπαρξη σε ένα «συνεχώς επίπεδο και συμπαγή χώρο (επίπεδο)»,

αλλά και την κατασκευαστική απόδοση στηρίχτηκα: Στην κατασκευή τμήματος

$\displaystyle{d = \frac{1}{{KL}},}$ οπότε παίρνουμε την σχέση $\displaystyle{\frac{d}{{OA}} + \frac{d}{{OB}} = 1,}$

που οδηγεί στην κατασκευή το ρόμβου OSTV

πλευράς

Τελικά αρκεί το σημείο

που είναι σημείο της ζητούμενης εφαπτομένης, να μην είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης …

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

S.E.Louridas έγραψε: Τετ Ιούλ 03, 2024 10:36 am Καλημέρα καλημέρα.
Πραγματικά Ιάσωνα και πάντα κατά την προσωπική μου άποψη, εκπόνησες μία τέλεια Μαθηματική διαπραγμάτευση.

Από την μεριά μου θέλοντας όχι μόνο την ύπαρξη σε ένα «συνεχώς επίπεδο και συμπαγή χώρο (επίπεδο)»,

αλλά και την κατασκευαστική απόδοση στηρίχτηκα: Στην κατασκευή τμήματος

$\displaystyle{d = \frac{1}{{KL}},}$ οπότε παίρνουμε την σχέση $\displaystyle{\frac{d}{{OA}} + \frac{d}{{OB}} = 1,}$

που οδηγεί στην κατασκευή το ρόμβου πλευράς

Τελικά αρκεί το σημείο που είναι σημείο της ζητούμενης εφαπτομένης, να μην είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης …

Καλησπέρα,

ομολογουμένως οι κατασκευαστικές προσεγγίσεις είναι ανώτερες!

Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Re: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Re: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Re: Επίπεδο, γωνία, μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση