Σταθερός στον λόγο του

KARKAR · #1

: Σταθερός στον λόγο του.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Οι κύκλοι (K,r)

και $(L , \rho)$ εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο (O,R)

, στα μεταβλητά του σημεία

και

.

Σχεδιάζουμε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

των

. Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{AB}{ST}$ είναι σταθερός .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 01, 2024 6:18 pm Οι κύκλοι και $(L , \rho)$ εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο , στα μεταβλητά του σημεία και .
Σχεδιάζουμε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα των . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{AB}{ST}$ είναι σταθερός .

Είναι καθαρό ότι οι SA,TB

τέμνονται σε σημείο

του κύκλου (O, R).

Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ABTS

είναι εγγράψιμο σε κύκλο καθότι η ευθεία

τέμνει τον κύκλο (O, R)

στο

και είναι κάθετη στην

ας πούμε στο σημείο

Μετά ταύτα παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{{QA}}{{QS}} = \frac{R}{{R + r}} \Rightarrow \frac{{QA \cdot QS}}{{Q{S^2}}} = \frac{R}{{R + r}},\;\,\frac{{QB}}{{QT}} = \frac{R}{{R + \rho }} \Rightarrow \frac{{Q{B^2}}}{{QT \cdot QB}} = \frac{R}{{R + \rho }}.}$

Έτσι έχουμε τελικά:

$\displaystyle{\vartriangle QAB \sim \vartriangle QST \Rightarrow \frac{{AB}}{{ST}} = \sqrt {\frac{{Q{B^2}}}{{Q{S^2}}}} = ... = \frac{{R\sqrt {\left( {R + r} \right)\left( {R + \rho } \right)} }}{{\left( {R + r} \right)\left( {R + \rho } \right)}},\,\;ct.}$

: ct..png (43.02 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Παρατήρηση:
Θα μπορούσε να ζητηθεί: Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος

στο τρίγωνο QST

έχει σταθερή ακτίνα.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 01, 2024 6:18 pm Σταθερός στον λόγο του.pngΟι κύκλοι και $(L , \rho)$ εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο , στα μεταβλητά του σημεία και .

Σχεδιάζουμε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα των . Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{AB}{ST}$ είναι σταθερός .

Νόμος συνημιτόνων στα OAB, OKL

και Π.Θ

: Σταθερός στο λόγο του.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{B^2} = 2{R^2} - 2{R^2}\cos \theta \hfill \\ K{L^2} = {(R + r)^2} + {(R + \rho )^2} - 2(R + r)(R + \rho )\cos \theta \hfill \\ S{T^2} =K{N^2} = K{L^2} - {(\rho - r)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με απαλοιφή του $\cos \theta ($ πράξεις ρουτίνας

παίρνω $\boxed{\frac{{AB}}{{ST}} = \frac{R}{{\sqrt {(R + r)(R + \rho )} }}}$

Σταθερός στον λόγο του

Σταθερός στον λόγο του

Re: Σταθερός στον λόγο του

Re: Σταθερός στον λόγο του

Μέλη σε σύνδεση