Σταθερό ύψος

KARKAR · #1

: Σταθερό ύψος.png (20.86 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

έχει ύψος : AM=7

και ακτίνα εγκύκλου r=2

. Από σημείο

, το οποίο

κινείται στην προέκταση της βάσης

, φέρουμε την άλλη εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις AC , AB

, στα σημεία P , Q ,

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής

των

, βρίσκεται σε σταθερή απόσταση (πόση ; ) από την βάση

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 23, 2024 10:51 am Σταθερό ύψος.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο έχει ύψος : και ακτίνα εγκύκλου . Από σημείο , το οποίο

κινείται στην προέκταση της βάσης , φέρουμε την άλλη εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις , στα σημεία

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των , βρίσκεται σε σταθερή απόσταση (πόση ; ) από την βάση .

: Σταθερό ύψος.png (30.42 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Από το Θεώρημα του Brianchon προκύπτει ότι από το σημείο τομής των διαγωνίων του περιγεγραμμένου στον κύκλο $\left( O \right)$ τετραπλεύρου BCPQ

( εκφυλισμένο περιγεγραμενο εξάγωνο )διέρχονται και τα ευθύγραμμα τμήματα DE,MN

που συνδέουν τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών του με τον κύκλο

Έτσι η απόσταση

από την

είναι σταθερή και ίση με την απόσταση των παραλλήλων DE,BC

(προφανώς παράλληλες λόγω του ισοσκελούς τριγώνου) με την

σε σταθερή θέση αφού τα δεδομένα (ύψος και ακτίνα έγκυλου του τριγώνου ) δίνουν σταθερό τρίγωνο.

Αν $Z\equiv \left( O \right)\cap AM,Z\ne M$ τότε από το εφαπτομενικό τμήμα

και την τέμνουσα του κύκλου AZN

θα είναι $A{{E}^{2}}=AZ\cdot AM=3\cdot 7=21\Rightarrow AE=\sqrt{21}$ και από την δύναμη σημείου ως προς τον περίκυκλο του τετραπλεύρου OECM

(λόγω των ορθών γωνιών (λόγω των επαφών)) θα είναι $AE\cdot AC=AO\cdot AM=5\cdot 7=35\overset{AE=\sqrt{21}}{\mathop{\Rightarrow }}\,AC=\dfrac{35}{\sqrt{21}}\Rightarrow$ $EC=AC-AE=\dfrac{35}{\sqrt{21}}-\sqrt{21}=\dfrac{14\sqrt{21}}{21}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
Αν $EK\bot BC$ (προφανώς EK=TL

, αφού $DE\parallel BC$ ) με $EK\parallel AM\Rightarrow \dfrac{EK}{AM}=\dfrac{EC}{AC}\overset{EK=TL}{\mathop{\Rightarrow }}\,TL=\dfrac{EC}{AC}\cdot AM=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}}{\dfrac{35}{\sqrt{21}}}\cdot 7=\dfrac{14}{5}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί

Σταθερό ύψος

Σταθερό ύψος

Re: Σταθερό ύψος

Μέλη σε σύνδεση