Προσεγγίζοντας έναν άρρητο με έναν ρητό

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός $\varepsilon$
και ο άρρητος αριθμός $\alpha$

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να βρεθεί ένας ρητός αριθμός $\rho$ τέτοιος ώστε $|\alpha-\rho|<\varepsilon$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Κυρ Αύγ 11, 2024 4:01 pm Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός $\varepsilon$
και ο άρρητος αριθμός $\alpha$

ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ
Να βρεθεί ένας ρητός αριθμός $\rho$ τέτοιος ώστε $|\alpha-\rho|<\varepsilon$

Ιάσονα, κάνει αυτό; Χρησιμοποιεί την Αρχιμήδεια ιδιότητα των φυσικών. Την γράφω σε γλώσσα προσιτή σε μαθητές Α' Λυκείου.

Επιλέγουμε φυσικό $n > \dfrac {1}{2\epsilon}$ (εδώ είναι η Αρχιμήδεια), οπότε $\dfrac {1}{n} < 2\epsilon , \, (*)$ . Γι' αυτό το

βρίσκουμε το ακέραιο μέρος, έστω

, του $n(a-\epsilon)$ (εδώ ξανά η Αρχιμήδεια), με σύμβολα $k = [n(a-\epsilon)]$ , που σημαίνει

$k \le n(a-\epsilon) < k+1$ , ισοδύναμα $\dfrac {k}{n} \le a-\epsilon < \dfrac {k+1}{n}$ . Έχουμε τότε

$\displaystyle{ a-\epsilon <{\color {blue} \dfrac {k+1}{n} }= \dfrac {k}{n} + \dfrac {1}{n} \le a-\epsilon + \dfrac {1}{n} < ^* a-\epsilon + 2\epsilon = a+\epsilon }$

Οπότε ο $\rho = {\color {blue} \dfrac {k+1}{n} }$ κάνει την δουλειά.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Κύριε Λάμπρου χαίρετε,

, ακριβώς αυτό είχα υπ' όψιν

Προσεγγίζοντας έναν άρρητο με έναν ρητό

Προσεγγίζοντας έναν άρρητο με έναν ρητό

Re: Προσεγγίζοντας έναν άρρητο με έναν ρητό

Re: Προσεγγίζοντας έναν άρρητο με έναν ρητό

Μέλη σε σύνδεση