Διπλή ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Διπλή ελαχιστοποίηση.png (9.39 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, από σημείο

της

, φέρουμε κάθετη προς την

, η οποία

τέμνει την

στο σημείο

. Η

τέμνει την προέκταση της

στο

, ενώ η κάθετη

από το

προς την

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε ( συναρτήσει της πλευράς

του τετραγώνου ) , το ελάχιστο του

.

β) Για ποια θέση του

, ελαχιστοποιείται το τμήμα

;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 14, 2024 6:05 am Διπλή ελαχιστοποίηση.pngΣτο τετράγωνο , από σημείο της , φέρουμε κάθετη προς την , η οποία

τέμνει την στο σημείο . Η τέμνει την προέκταση της στο , ενώ η κάθετη

από το προς την , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

α) Υπολογίστε ( συναρτήσει της πλευράς του τετραγώνου ) , το ελάχιστο του .

β) Για ποια θέση του , ελαχιστοποιείται το τμήμα ;

Για το 2ο ερώτημα τα πράγματα είναι απλά . $S{T_{\min }} = a$ ( η απόσταση των παραλλήλων $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ .

Για το 1ο ερώτημα θεωρώ το σύστημα συντεταγμένων του σχήματος με a = 2

και $E\left( {k,0} \right)$ με - 1 < k < 1

. Προκύπτουν εύκολα :

$\overrightarrow {AE} = \left( {k + 1, - 2} \right)\,\,,\,\,{\lambda _{\overrightarrow {EZ} }} = \dfrac{{k + 1}}{2}\,\,,\,\,EZ:\,\,y = \dfrac{{k + 1}}{2}\left( {x - k} \right)$ που για x = 1

προκύπτει : $Z\left( {1,\dfrac{{1 - {k^2}}}{2}} \right)$ οπότε , ${\lambda _{\overrightarrow {AZ} }} = - \dfrac{{{k^2} + 3}}{4}$ .

: Διπλή ελαχιστοποίηση_πρώτη new.png (22.94 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Συνεπώς , ${\lambda _{\overrightarrow {EN} }} = \dfrac{4}{{{k^2} + 3}}$ και η ευθεία $EN:\,\,y = \dfrac{4}{{{k^2} + 3}}\left( {x - k} \right)$ που για y = 2

δίδει το $S\left( {\dfrac{{{k^2} + 2k + 3}}{4},2} \right)$ .

Τώρα έχω το τετράγωνο του

ως έκφραση του

να δίδεται από τη συνάρτηση : $f\left( k \right) = \dfrac{{{{\left( {{k^2} + 3} \right)}^2}}}{4} + 4$ .

Είναι $f'\left( k \right) = k\left( {{k^2} + 3} \right)$ και παρουσιάζει ελάχιστο για k = 0

( δηλαδή το $E \equiv O$ αρχή των αξόνων –μέσο του

)

Το $f(0) = \dfrac{{25}}{4}$ και άρα ελάχιστο του

είναι το $\dfrac{5}{2}$ . Γενικά τώρα με απλή μέθοδο κι αφού για a = 2

έχω ελάχιστο $\dfrac{5}{2}$ προκύπτει :

$\boxed{E{S_{\min }} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{{5a}}{4}}$

Τώρα στο 2ο ερώτημα ζητά και τη θέση του Ε . Βρίσκω την εξίσωση της ευθείας

που για

προκύπτει ,

$T\left( {\dfrac{{5 - {k^2}}}{{{k^2} + 3}},0} \right)$ . Πρέπει οι τετμημένες των $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ να ταυτιστούν και προκύπτει : $2{k^4} + 2{k^3} + 8{k^2} + 6k - 1 = 0$

Με ρίζα: $\boxed{k = \sqrt[3]{{\frac{{4\sqrt {69} }}{9} + \dfrac{{44}}{{27}}}} - \sqrt[3]{{\dfrac{{4\sqrt {69} }}{9} - \dfrac{{44}}{{27}}}} - \dfrac{1}{3}}$ και γενικά , $\boxed{OE = \dfrac{a}{2}\left( {\sqrt[3]{{\frac{{4\sqrt {69} }}{9} + \dfrac{{44}}{{27}}}} - \sqrt[3]{{\dfrac{{4\sqrt {69} }}{9} - \dfrac{{44}}{{27}}}} - \dfrac{1}{3}} \right)}$ .

Διπλή ελαχιστοποίηση

Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση