Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

KARKAR · #1

: Βελτιστοποίηση για υπομενετικούς.png (27.97 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, οι κάθετες πλευρές

και

έχουν άθροισμα

.

Φέρουμε την διχοτόμο

και την διάμεσο

. Υπολογίστε το $( DMB )_{max}$ .

Αν είστε εξαιρετικά υπομονετικοί θα λύνατε το θέμα αντικαθιστώντας το , με .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 27, 2024 10:52 am Βελτιστοποίηση για υπομενετικούς.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι κάθετες πλευρές και έχουν άθροισμα .

Φέρουμε την διχοτόμο και την διάμεσο . Υπολογίστε το $( DMB )_{max}$ .

Αν είστε εξαιρετικά υπομονετικοί θα λύνατε το θέμα αντικαθιστώντας το , με .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Έστω

,

με

$M(0,\dfrac{k-a}{2})$

$BC\colon (a-k)\cdot x-a\cdot y=a\cdot(a-k)$
$AD\colon y=x$

$\Rightarrow D\left(\dfrac{a\cdot(k-a)}{k},\dfrac{a\cdot(k-a)}{k}\right)$

$(BMD)=\dfrac{1}{2}\cdot|\begin{vmatrix}a&0&1\\0&\dfrac{k-a}{2}&1\\\dfrac{a\cdot(k-a)}{k}&\dfrac{a\cdot(k-a)}{k}&1\end{vmatrix}|$
$=...=|\dfrac{a^2(a-k)}{4k}|=\dfrac{k^2}{4}\dfrac{a^2}{k^2}\left(1-\dfrac{a}{k}\right)$

Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση f(x)=x^2(1-x)

με $x\in(0,1)$
Λαμβάνει μέγιστο όταν $x=\dfrac{2}{3}$ οπότε καταλήγουμε
στην απάντηση που έδωσε ο κύριος Βισβίκης $(BMD)_{\max}=\dfrac{k^2}{27}$ $\blacksquare$

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 27, 2024 10:52 am Βελτιστοποίηση για υπομενετικούς.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι κάθετες πλευρές και έχουν άθροισμα .

Φέρουμε την διχοτόμο και την διάμεσο . Υπολογίστε το $( DMB )_{max}$ .

Αν είστε εξαιρετικά υπομονετικοί θα λύνατε το θέμα αντικαθιστώντας το , με .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{b}{{b + c}} = \frac{b}{k} \Leftrightarrow x = \frac{{bc}}{k}$

: Βέλτιστη υπομονή.png (30.26 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

$\displaystyle (DMB) = (ABC) - (MDC) - (AMB) = \frac{{bc}}{2} - \frac{{{b^2}c}}{{4k}} - \frac{{bc}}{4} = \frac{{bc}}{4} - \frac{{{b^2}c}}{{4k}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{c = k - b}$

$\displaystyle (DMB) = \frac{{b{{(k - b)}^2}}}{{4k}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω $\boxed{{(DMB)_{\max }} = \frac{{{k^2}}}{{27}}}$ όταν $\boxed{b=\frac{k}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 27, 2024 10:52 am Βελτιστοποίηση για υπομενετικούς.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , οι κάθετες πλευρές και έχουν άθροισμα .

Φέρουμε την διχοτόμο και την διάμεσο . Υπολογίστε το $( DMB )_{max}$ .

Αν είστε εξαιρετικά υπομονετικοί θα λύνατε το θέμα αντικαθιστώντας το , με .

Έστω

και

ύψη των τριγώνων MDB,ABC

.Τότε

Από θ.διχοτόμου $\dfrac{BD}{DC}= \dfrac{k-x}{x} \Rightarrow \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{k-x}{k}$

$\dfrac{(MDB)}{(ABC)} = \dfrac{BD.h}{BC.2h} \Rightarrow \dfrac{(MDB)}{ \dfrac{(ABC}{2} )}= \dfrac{BD}{BC}= \dfrac{k-x}{k} \Rightarrow \dfrac{(MDB)}{(MAB)}= \dfrac{k-x}{k}$

Άρα $(MDB)= \dfrac{k-x}{k}(MAB) \Rightarrow (MDB)= \dfrac{x(k-x)^2}{4k}$

Εύκολα τώρα (με παράγωγο) ,για $x= \dfrac{k}{3} \Rightarrow (DMB)_{max}= \dfrac{k^2}{27}$

: βελτιστοποίηση για υπομονετικούς.png (32.76 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Re: Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Re: Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Re: Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Re: Βελτιστοποίηση για υπομονετικούς

Μέλη σε σύνδεση