Αριθμητική Πρόοδος με μηδενικό άθροισμα.

#1

Μία Αριθμητική Πρόοδος a_1, a_2, a_3, ...

, όχι σταθερά μηδενική, ικανοποιεί

$a_{101}+a_{102}+a_{103}+...+a_{200}=0$

Ποιο είναι το μικρότερο

για το οποίο το άθροισμα S_m

των

πρώτων όρων της προόδου ικανοποιεί S_m=0

;

abgd · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 03, 2024 11:50 pm Μία Αριθμητική Πρόοδος , όχι σταθερά μηδενική, ικανοποιεί

$a_{101}+a_{102}+a_{103}+...+a_{200}=0$

Ποιο είναι το μικρότερο για το οποίο το άθροισμα των πρώτων όρων της προόδου ικανοποιεί ;

Έστω $\displaystyle{\omega \ne 0}$ η διαφορά της προόδου

Είναι $\displaystyle{a_{101}+a_{102}+a_{103}+....+a_{200}=0\Rightarrow 50(a_{101}+a_{200})=0 \Rightarrow a_{101}+a_{200}=0 (1)}$

Προσθαφαιρώντας στην $\displaystyle{(1)}$ το $\displaystyle{n\omega, n=0,1,2,3,....,49}$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{(a_{101}+a_{200}=0), (a_{102}+a_{199}=0),.....,(a_{150}+a_{151}=0)}$

Προσθαφαιρώντας στην $\displaystyle{(1)}$ το $\displaystyle{n\omega, n=1,2,3,....,100}$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{(a_{100}+a_{201}=0), (a_{99}+a_{202}=0),.....,(a_1+a_{300}=0)}$

Ανά δύο δηλαδή οι όροι της ακολουθίας, μέχρι τον τριακοσιοστό, που ισαπέχουν από τον πρώτο και τον τριακοσιοστό είναι αντίθετοι, οπότε
$\displaystyle{S_{300}=0}$

Αν τώρα υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{1<m<300}$ και $\displaystyle{S_m=0}$ τότε

$\displaystyle{S_{300}-S_m=0\Rightarrow a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_{300}=0\Rightarrow a_{m+1}+a_{300}=0\Rightarrow a_{m+1}=a_1\Rightarrow \omega=0}$ άτοπο.

Άρα ο μικρότερος $\displaystyle{m}$ για τον οποίο $\displaystyle{S_m=0}$ είναι ο $\displaystyle{m=300}$

Αριθμητική Πρόοδος με μηδενικό άθροισμα.

Αριθμητική Πρόοδος με μηδενικό άθροισμα.

Re: Αριθμητική Πρόοδος με μηδενικό άθροισμα.

Μέλη σε σύνδεση