Πολλά εννιάρια

#1

Ορίζουμε τον αριθμό N=999...99

που αποτελείται από 2024

ψηφία, όλα εννιάρια. Από πόσα ψηφία αποτελείται ο N^2

; Πόσα από αυτά είναι εννιάρια;

Nikitas K. · #2

Έστω, $a_n = 100^n-2\cdot 10^n + 1$

Ισχύει $a_1 = 81 = \underbrace{99\dots 9}_{0}8\underbrace{00\dots 0}_{0}1$

Επίσης, υποθέτοντας τυχαίο $\displaystyle k\in\mathbb{N}^*~ a_k = \underbrace{99\dots 9}_{k-1}8\underbrace{00\dots 0}_{k-1}1$ , τότε

$a_{k+1} = 99\cdot 100^k - 18 \cdot 10^k + a_k = 99\underbrace{00\dots 0}_{2k} - 18 \underbrace{00\dots 0}_{k} + \underbrace{99\dots 9}_{k-1}8\underbrace{00\dots 0}_{k-1}1$

$= 99\underbrace{00\dots 0}_{2k} + \underbrace{99\dots 9}_{k-2}8\underbrace{00\dots 0}_{k}1 = \underbrace{99\dots 9}_{k}8\underbrace{00\dots 0}_{k}1$

Ήτοι $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*~ a_n = \underbrace{99\dots 9}_{n-1}8\underbrace{00\dots 0}_{n-1}1$

Επομένως, ο αριθμός $N^2 = (\underbrace{99\dots 9}_{2024})^2 = (10^{2024}-1)^2 = a_{2024} = \underbrace{99\dots 9}_{2023}8\underbrace{00\dots 0}_{2023}1$ αποτελείται από 4048

ψηφία εκ των οποίων τα 2023

είναι εννιάρια.

Πολλά εννιάρια

Πολλά εννιάρια

Re: Πολλά εννιάρια

Μέλη σε σύνδεση