Απόσταση έγκεντρου από το ορθόκεντρο

#1

Με τους συνήθεις συμβολισμούς, να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει η σχέση:

$IH^2=4R^2+2r^2-\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2).$

Al.Koutsouridis · #2

george visvikis έγραψε: Σάβ Σεπ 21, 2024 11:29 am Με τους συνήθεις συμβολισμούς, να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση:

$IH^2=4R^2+2r^2-\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$

Έστω

το μέσο του τμήματος

, τότε το

είναι το κέντρο του κύκλου του Euler του ABC

. Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο IHO

έχουμε

.

Από το θεώρημα Feuerbach ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου Euler. Οπότε ισχύει

$QI=\dfrac{R}{2}-r$ .

Από το θεώρημα Euler ισχύει

OI^2=R^2-2rR

.

Επίσης από γνωστή σχέση σε τρίγωνο έχουμε

OH^2= 9R^2-(a^2+b^2+c^2)

.

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στην έκφραση του θεωρήματος διαμέσων διαδοχικά έχουμε,

$2IH^2= 4 \cdot \frac{(R-2r)^2}{4} -2(R^2-2rR) +9R^2- (a^2+b^2+c^2)$

2IH^2= (R-2r)^2 -2R^2 +4rR +9R^2-(a^2+b^2+c^2)

$IH^2 = 4R^2+2r^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$ .

: apostash_IH.png (155.69 KiB) Προβλήθηκε 1869 φορές

#3

Σ' ευχαριστώ Αλέξανδρε για τη λύση

Από αυτό τον τύπο προκύπτει και η ανισότητα $\boxed{a^2+b^2+c^2\le 4r^2+8R^2}$

Απόσταση έγκεντρου από το ορθόκεντρο

Απόσταση έγκεντρου από το ορθόκεντρο

Re: Απόσταση έγκεντρου από το ορθόκεντρο

Re: Απόσταση έγκεντρου από το ορθόκεντρο

Μέλη σε σύνδεση