Τμήμα της διαμέτρου

KARKAR · #1

: Τμήμα της διαμέτρου.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, θεωρούμε χορδή $BP= \ell$ και ονομάζουμε M , N

τα μέσα των OP , BP

αντίστοιχα . Η

τέμνει το τόξο στο σημείο

, ενώ η

τέμνει

την διάμετρο στο σημείο

. Υπολογίστε - συναρτήσει των $r , \ell$ - το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2024 8:41 am
Τμήμα της διαμέτρου.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε χορδή $BP= \ell$ και ονομάζουμε τα μέσα των αντίστοιχα . Η τέμνει το τόξο στο σημείο , ενώ η τέμνει την διάμετρο στο σημείο . Υπολογίστε - συναρτήσει των $r , \ell$ - το τμήμα .

Έστω $K\equiv AT\cap PB$ και ας είναι

η ορθή προβολή του

στην

.

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle POB$ με διατέμνουσα την AMK

θα έχουμε: $\dfrac{AO}{AB}\cdot \dfrac{KB}{KA}\cdot \dfrac{MP}{MO}=1\overset{AB=2AO=2r,MP=MO}{\mathop{\Rightarrow }}\,KB=2KP$

: Τμήμα της διαμέτρου.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Με

τα μέσα των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle POB\Rightarrow MN=\parallel \dfrac{OB}{2}$ άρα $\angle NMT=\angle BAT=\angle BPT\equiv \angle NPT\Rightarrow P,M,N,T$ ομοκυκλικά άρα $\angle KTS\equiv \angle MTN=\angle MPN\equiv \angle OPB\overset{OP=OB=r}{\mathop{=}}\,\angle OBP\equiv \angle KBS\Rightarrow K,T,B,S$ ομοκυκλικά και επειδή $\angle KTB\equiv \angle ATB={{90}^{0}}$ εξαιτίας του ημικυκλίου , θα είναι $KS\bot AB\Rightarrow KS\parallel PL\Rightarrow \dfrac{SB}{BL}=\dfrac{KB}{BP}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow SB=\dfrac{2}{3}BL$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle APB\Rightarrow P{{B}^{2}}=BL\cdot AB\Rightarrow BL=\dfrac{{{\ell }^{2}}}{2r}\Rightarrow SB=\dfrac{{{\ell }^{2}}}{3r}$

KARKAR · #3

: σαν πόρισμα.png (7.04 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Και μια παρατήρηση : Ο Στάθης αλλά και ο Γιώργος εδώ "αναγκάζονται" να αποδείξουν τη πρόταση :

Η ημιευθεία

, με

μέσο της διαμέσου

, διαιρεί την

σε λόγο : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{1}{2}$ .

Είναι μια όμορφη άσκηση του σχολικού βιβλίου , που πρέπει - ίσως - να αναβαθμιστεί σε "Πόρισμα" .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2024 7:25 pm
σαν πόρισμα.pngΚαι μια παρατήρηση : Ο Στάθης αλλά και ο Γιώργος εδώ "αναγκάζονται" να αποδείξουν τη πρόταση :

Η ημιευθεία , με μέσο της διαμέσου , διαιρεί την σε λόγο : $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{1}{2}$ .

Είναι μια όμορφη άσκηση του σχολικού βιβλίου , που πρέπει - ίσως - να αναβαθμιστεί σε "Πόρισμα" .

Πράγματι ενδιαφέρον Πόρισμα Θανάση (Εχω μερικά χρόνια «φευγάτος» από τα σχολικά δρώμενα και δεν το θυμάμαι , ούτε την απόδειξή του)

: Πόρισμα.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Εδώ δίνω μια διαφορετική απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Θαλή και όχι Μενέλαο

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

τοτε από το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο BNCK

(οι διαγώνιές του διχοτομούνται) προκύπτει ότι $KC\parallel NB\equiv NC\overset{\vartriangle AKC,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta }{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{AN}{AK}=\dfrac{1}{3}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2024 8:41 am
Τμήμα της διαμέτρου.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε χορδή $BP= \ell$ και ονομάζουμε

τα μέσα των αντίστοιχα . Η τέμνει το τόξο στο σημείο , ενώ η τέμνει

την διάμετρο στο σημείο . Υπολογίστε - συναρτήσει των $r , \ell$ - το τμήμα .

Επειδή $2\theta = \theta + {\theta _2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,2\theta = 2{\theta _3}$ ( εξωτερική και επίκεντρη διπλάσια της εγγεγραμμένης) , όλες οι κίτρινες είναι ίσες και μια

Κίτρινη συν μια κρόκινη είναι συμπληρωματικές . Τα τετράπλευρα $PMNT,\,\,ESBT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASEP\,$ , είναι εγγράψιμα .

: Τμήμα διαμέτρου_oritzin_1.png (49.16 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Στο $\vartriangle TPB$ η $TE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ εσωτερική κι εξωτερική διχοτόμος άρα η τετράδα $\left( {P,N\backslash E,B} \right)$ είναι αρμονική με λόγο:

$\boxed{\frac{{EN}}{{EP}} = \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{1}{2}}$ κι έτσι από : $\boxed{BE \cdot BP = 2xr \Rightarrow 4m \cdot 6m = 2xr \Rightarrow \frac{2}{3}l \cdot l = 2xr \Rightarrow {l^2} = 3xr \Rightarrow x = \frac{{{l^2}}}{{3r}}}$

KARKAR · #6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 03, 2024 7:58 pm
Πράγματι ενδιαφέρον Πόρισμα Θανάση ( Έχω μερικά χρόνια «φευγάτος» από τα σχολικά δρώμενα

και δεν το θυμάμαι , ούτε την απόδειξή του)

: σαν πόρισμα.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Στο σχήμα η "επίσημη" απόδειξη . Τόσο όμορφη ! ( $MT \parallel BS$ ) .

Τμήμα της διαμέτρου

Τμήμα της διαμέτρου

Re: Τμήμα της διαμέτρου

Re: Τμήμα της διαμέτρου

Re: Τμήμα της διαμέτρου

Re: Τμήμα της διαμέτρου

Re: Τμήμα της διαμέτρου

Μέλη σε σύνδεση