Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

#1

Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός

. Σε κάθε κίνηση τον πολλαπλασιάζουμε ή τον διαιρούμε είτε με τον αριθμό

είτε με τον

. Ποιον από τους παρακάτω αριθμούς μπορούμε να βρούμε μετά από

τέτοιες κινήσεις;

α)

, . β)

, . γ)

.

Nikitas K. · #2

Τις

κινήσεις τις σπαταλάω πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας (βρόγχος) π.χ. με το

για να μείνουμε σταθερά στο

Μετά πολλαπλασιάζουμε με το

παίρνουμε

και μετά με το

και παίρνουμε το

Άρα η απάντηση είναι γ)

Ή

$12\rightarrow 6\rightarrow 18$ και μετά χρησιμοποιώ τον παραπάνω βρόγχο για τις υπόλοιπες

κινήσεις.
Άρα η απάντηση είναι το α)

Για να φτάσουμε στο

χρειάζεται περιττό αριθμό κινήσεων άρα δεν μπορεί να εμφανιστεί μετά από

κινήσεις.

#3

Nikitas K. έγραψε: Τρί Οκτ 08, 2024 2:33 am
Για να φτάσουμε στο χρειάζεται περιττό αριθμό κινήσεων άρα δεν μπορεί να εμφανιστεί μετά από κινήσεις.

Σωστό μεν, αλλά χρειάζεται τεκμηρίωση. Δεν λέω ότι είναι κάτι δύσκολο αλλά ότι είναι απαραίτητο δεδομένου ότι η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου. Το να πεις ότι χρειάζεται "περιττός αριθμός κινήσεων" χωρίς κάποιο σχόλιο είναι σαν να λες ότι η διαδικασία που ακολούθησες (βρόγχος) στις περιτώσεις των

και

είναι η μόνη διαδικασία. Τότε όμως ο οξυδερκής Μαθηματικός θα αναρωτηθεί αν νομίζεις ότι κάποια ικανή συνθήκη (της οποίας έκανες χρήση) είναι και αναγκαία. Χμμμμ.

Nikitas K. · #4

Όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τις κινήσεις αυτές είναι της μορφής $12\cdot 2^n \cdot 3^m$ (με n,m

ακέραιους.)

Θέλουμε $12\cdot 2^n \cdot 3^m=36\Leftrightarrow 2^n \cdot 3^m=3$ αναγκαστικά n=0

και

Αυτό λέει ότι όσες κινήσεις πολλαπλασιάσω με το

πρέπει να διαιρέσω τόσες και μετά λέει ότι όσες κινήσεις διαιρέσω με το

πρέπει πολλαπλασιάσω τόσες συν μια ακόμη με το

, για να πάρω

Σύνολο άρτιος + περιττός = περιττός αριθμός κινήσεων.

Έστω ότι n=n_1-n_2

και

όπου

οι φορές που πολλαπλασίασα και οι φορές που διαίρεσα με το

αντίστοιχα.
Ομοίως ορίζεται το

Ισχύει

και

Αθροίζοντάς τα n_1+n_2+m_1+m_2=2(n_2+m_2)+1

βλέπουμε ότι είναι περιττός αριθμός κινήσεων

Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

Re: Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

Re: Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

Re: Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με τον 2 ή με τον 3

Μέλη σε σύνδεση