Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

skywalker13 · #1

Μια μικρή βοήθεια για να ξεκινήσω θα ήθελα

1) $\displaystyle{ I=\int_{0}^{\pi /4}{ln\left(1+\varepsilon \phi x \right)}dx }$

2) Αν f συνεχής στο R να δείξω ότι
$\displaystyle{ \int_{0}^{x}{\left(x-u \right)f\left(u \right)}du=\int_{0}^{x}{\left(\int_{0}^{u}{f\left(t \right)dt} \right)}du }$ για κάθε xεR

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Dimitris X · #2

Μία βοήθεια για τη 2.
$f{'}(x)=g{'}(x) \Longrightarrow f(x)=g(x)+c.$
Όταν c=0....

#3

skywalker13 έγραψε:Μια μικρή βοήθεια για να ξεκινήσω θα ήθελα

1) $\displaystyle{ I=\int_{0}^{\pi /4}{ln\left(1+\varepsilon \phi x \right)}dx }$

δοκίμασε αυτό

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mijmij8 · #4

Για το 1ο θέτω χ=π/4-u

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #5

Για το πρώτο, δείξε οτι $\displaystyle{\int\limits_0^a {f(a - x)dx = \int\limits_0^a {f(x)dx} } }$
στη συνέχεια κανε εφαρμογή για την συνάρτηση που σου δίνει.
θεωρώ $\displaystyle{f(x) = \ln (1 + \varepsilon \phi x)}$
$\displaystyle{f(\frac{\pi }{4} - x) = .... = \ln 2 - f(x)}$
οπότε... το ολοκλήρωμα σου βγαίνει $\displaystyle{I = \frac{{\pi \ln 2}}{8}}$

Μόλις έιδα οτι έχεις και υπόδειξη. Αλλά μιας και το έγραψα το αφήνω.
Πάντώς αν ζητηθεί κάτι τέτοιο, θα έχει σαν πρώτο ερώτημα να δείξεις οτι
$\displaystyle{\int\limits_0^a {f(a - x)dx = \int\limits_0^a {f(x)dx} } }$

mathxl · #6

Η 2 είναι σχολική ασκηση(βασική κατά την γνώμη μου) ασκ5 σελ352
Το 1 έχει συζητηθεί (περίπου) και εδώ viewtopic.php?f=56&t=449 . Μπορείς να δεις το γιατί;

#7

Ένα συμπληρωματικό ερώτημα για το 1).

Δείξε ότι $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx}$ .

manos1992 · #8

συμφωνώ ότι το 2) είναι απλό και βασικό γιατι απλώς

$\int_{0}^{x}{(\int_{0}^{u}{f(t)dt})du}=\int_{0}^{x}{(u)'(\int_{0}^{u}{f(t)dt})du}=[u\int_{0}^{u}{f(t)dt}]_0^x-\int_{0}^{x}{uf(u)du}=\int_{0}^{x}{(x-u)f(u)}$

και τελειώσαμε...

manos1992 · #9

Για το ερωτημα του κύριου Αναστάση...μη σχολική λύση

Θέτω tanx=u

$x=arctanu\Rightarrow dx=\frac{du}{1+u^2}$

άρα $I=\int_{0}^{1}{\frac{ln(1+u)}{1+u^2}du}$

#10

manos1992 έγραψε:Για το ερωτημα του κύριου Αναστάση...μη σχολική λύση

Θέτω

$x=arctanu\Rightarrow dx=\frac{du}{1+u^2}$

άρα $I=\int_{0}^{1}{\frac{ln(1+u)}{1+u^2}du}$

Ωραίος! Η σχολική είναι να θέσεις $\displaystyle{x=\tan u}$ στο $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx}$ και να καταλήξεις στο $\displaystyle{I}$ .

Καλή σου νύχτα!

manos1992 · #11

Aς κανω και μια σχολική πριν πάω για ύπνο...

πολλαπλασιάζω και διαιρώ με cos^2x

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos^2x\frac{ln(1+tanx)}{cos^2x}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{ln(1+tanx)}{cos^2x(1+tan^2x)}dx}$

με u=tanx έπεται το ζητούμενο...

καληνύχτα!!

EDIT:μόλις είδα τη δημοσίευσή σας...σωστό κι αυτό!!

Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Re: Υπολογισμός ολοκληρώματος-Απόδειξη σχέσης

Μέλη σε σύνδεση