Χωρίς ακέραιες ρίζες

KARKAR · #1

Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) , η εξίσωση : x^4-3x-2=0

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 25, 2024 8:27 am Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) , η εξίσωση :

$\displaystyle {x^4} - ({x^2} + 3x + 2) + {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^4} - \left( {({x^2} + 2x + 1) + (x + 1)} \right) + {x^2}=0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^4} - {(x + 1)^2} + {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x - 1)({x^2} + x + 1) + ({x^2} - x - 1) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({x^2} - x - 1)({x^2} + x + 2) = 0.$ To τριώνυμο στη δεύτερη παρένθεση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Άρα, $\boxed{x = \phi }$ ή $\boxed{x = - \frac{1}{\phi }}$

Al.Koutsouridis · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 25, 2024 8:27 am Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) , η εξίσωση :

Η εξίσωση γρτάφεται x^4=3x+2

, συμπληρώνουμε το αριστερό μέλος της εξίσωσης, ώστε να προκύψει τέλειο τετράγωνο ως εξής:

x^4+2px^2+p^2=3x+2+2px^2+p^2

, όπου

πραγματικός αριθμός. Η εξίσωση γίνεται

(x^2+p)^2=2px^2+3x+p^2+2

Διαλέγουμε το

, ώστε και το δεξί μέλος τη εξίσωσης να είναι τέλειο τετράγωνο. Για να γίνει αυτό αρκεί να μηδενίζεται η διακρίνουσα του δεξιού μέλους (ως προς

). Δηλαδή θα πρέπει $D=9-4\cdot 2p(p^2+2)=0$ . Η οποία γράφεται

-8p^3-16p+9=0

, κάνουμε την αντικατάσταση 2p=k

και η εξίσωση της διακρίνουσας γίνεται.

-k^3-8k+9=0

Εξετάζουμε αν έχει ρίζες μεταξύ των διαιρετών του

. Πράγματι, παρατηρούμε ότι για k=1

επαληθεύεται. Οπότε και $p=\dfrac{1}{2}$ .

Αντικαθιστώνας την παραπάνω τιμή στην αρχική εξίσωση μας, έχουμε διαδοχικά

$\left (x^2+\dfrac{1}{2} \right )^2= x^2+3x+\dfrac{9}{4}$

$\left (x^2+\dfrac{1}{2} \right )^2= \left (x+\dfrac{3}{2} \right)^2$

$\left (x^2+\dfrac{1}{2} -x-\dfrac{3}{2} \right) \left ( x^2+\dfrac{1}{2} +x+\dfrac{3}{2}\right)=0$

$\left (x^2 -x-1 \right) \left ( x^2 +x+2\right)=0$

Με λύσεις $x_{1,2} = \dfrac{1 \pm\sqrt{5}}{2}$ .

Υγ. Χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος Ferrari.

KARKAR · #4

Ένας ακόμη τρόπος παραγοντοποίησης του ( μονικού ) πολυωνύμου τετάρτου βαθμού . Είναι : x^4-3x-2 =

.

Αμέσως βλέπουμε ότι : $c=-a , d=-\dfrac{b}{2}$ και εύκολα βρίσκουμε : a=1 , b=2 , c=-1 , d=-1

.

Χωρίς ακέραιες ρίζες

Χωρίς ακέραιες ρίζες

Re: Χωρίς ακέραιες ρίζες

Re: Χωρίς ακέραιες ρίζες

Re: Χωρίς ακέραιες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση