Ίσες γωνίες 38

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες 38.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Στην πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

θεωρούμε τυχόν σημείο

. Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

,

ο οποίος τέμνει τις DC , BC

στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Εξετάστε αν οι γωνίες $\widehat{ABS} , \widehat{BPT}$ είναι ίσες .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 29, 2024 8:16 pm Ίσες γωνίες 38.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου θεωρούμε τυχόν σημείο . Γράφω τον κύκλο διαμέτρου ,

ο οποίος τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα . Εξετάστε αν οι γωνίες $\widehat{ABS} , \widehat{BPT}$ είναι ίσες .

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο άρα,

$\hat{TPB}=\hat{TSB}=\omega ,\hat{SPB}=90=\hat{STB},ST//AB,\hat{SBA}=\hat{TSB}$

KARKAR · #3

: Επιπλέον.png (14 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Αν επιπλέον το

είναι το μέσο της

, για ποια τιμή του λόγου : $\dfrac{a}{b}$ προκύπτει : $\dfrac{BS}{PT}=\sqrt{2}$ ;

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2024 8:04 am Επιπλέον.pngΑν επιπλέον το είναι το μέσο της , για ποια τιμή του λόγου : $\dfrac{a}{b}$ προκύπτει : $\dfrac{BS}{PT}=\sqrt{2}$ ;

Ειναι $BS^{2}=\dfrac{4a^{2}+b^{2}}{4}$ ,

$DS.PA=DP.DK\Rightarrow 2y^{2}-2ay+b^{2}=0\Rightarrow y=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-2b^{2}}}{2}$ ,

$SK^{2}=\dfrac{2a^{2}-b^{2}}{4}+\dfrac{a}{2}\sqrt{a^{2}-2b^{2}}$

Οπότε για $t=\dfrac{a^{2}}{b^{2}},16t(t-2)=9\Rightarrow t=\dfrac{9}{4},\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 30, 2024 8:04 am Επιπλέον.pngΑν επιπλέον το είναι το μέσο της , για ποια τιμή του λόγου : $\dfrac{a}{b}$ προκύπτει : $\dfrac{BS}{PT}=\sqrt{2}$ ;

Τα ορθογώνια τρίγωνα PSB, CTP

είναι όμοια, οπότε $\displaystyle \frac{b}{{2SP}} = \frac{{SB}}{{PT}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow SP = \frac{b}{2}\sqrt 2 .$

: Ίσες γωνίες 38.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Άρα το

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή $\displaystyle P\widehat ST = P\widehat BT = 45^\circ \Rightarrow PC = b.$

Ώστε, $\displaystyle a = DP + PC = \frac{b}{2} + b \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b}=\frac{3}{2}}$

Ίσες γωνίες 38

Ίσες γωνίες 38

Re: Ίσες γωνίες 38

Re: Ίσες γωνίες 38

Re: Ίσες γωνίες 38

Re: Ίσες γωνίες 38

Μέλη σε σύνδεση