Οριζιακή ... εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Να επιλυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\begin{vmatrix} \frac{x+7}{5 \left ( x+2 \right )} & \frac{x+11}{7 \left ( x+4 \right )} & \frac{x+15}{9 \left ( x+6 \right )} & \cdots & \frac{x+4n+3}{\left ( 2n+3 \right ) \left ( x+2n \right )} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{vmatrix} = 0 }$

abfx · #2

Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{vmatrix} \frac{x+7}{5 \left ( x+2 \right )} & \frac{x+11}{7 \left ( x+4 \right )} & \frac{x+15}{9 \left ( x+6 \right )} & \cdots & \frac{(x+4n)+3}{\left ( 2n+3 \right ) \left ( x+2n \right )} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{(x+2)+5}{5 \left ( x+2 \right )} & \frac{(x+4)+7}{7 \left ( x+4 \right )} & \frac{(x+6)+9}{9 \left ( x+6 \right )} & \cdots & \frac{(x+2n)+2n+3}{\left ( 2n+3 \right ) \left ( x+2n \right )} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{vmatrix} }=$

$\displaystyle{\begin{vmatrix} \frac{1}{5}+\frac{1}{x+2} & \frac{1}{7}+\frac{1}{x+4} & \frac{1}{9}+\frac{1}{x+6} & \cdots & \frac{1}{2n+3}+\frac{1}{x+2n} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{vmatrix}=\displaystyle{\begin{vmatrix} \frac{1}{x+2} & \frac{1}{x+4} & \frac{1}{x+6} & \cdots &\frac{1}{x+2n} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{vmatrix}=$

$=\displaystyle \frac{A_1}{x+2}+\ldots +\frac{A_n}{x+2n}=\frac{A_1(x+4)\cdots (x+2n)+\ldots +A_n(x+2)\cdots (x+2n-2)}{(x+2)\cdots (x+2n)}=\frac{P(x)}{(x+2)\cdots (x+2n)}$

Παρατηρούμε ότι οι $x=3,5,\ldots , 2n-1$ είναι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης, επομένως και του P(x)

.

Επειδή $deg P(x)\leq n-1$ , αν δείξουμε ότι $P\neq 0$ , έχουμε ότι οι πάνω είναι οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης.

Πράγματι, δείχνουμε ότι $P(1)\neq 0$ ή ισοδύναμα ότι ο πίνακας

$\displaystyle{\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \cdots &\frac{1}{2n+1} \\\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \cdots & \frac{1}{2n+3} \\\\ \frac{1}{7}& \frac{1}{9} & \frac{1}{11} & \cdots & \frac{1}{2n+5} \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ \frac{1}{2n+1} & \frac{1}{2n+3} & \frac{1}{2n+5} & \cdots & \frac{1}{4n-1} \\ \end{bmatrix}$

είναι αντιστρέψιμος.

Αν $(x_1,\ldots , x_n)$ λύση του αντίστοιχου ομογενούς γραμμικού συστήματος, τότε απαλείφοντας παρονομαστές σε κάθε εξίσωση,

προκύπτει ότι το πολυώνυμο $\displaystyle Q(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{x_i}{x-2i}\prod_{j=0}^{n-1} (x-2j)$

μηδενίζει για $x=3,5,\ldots, 2n+1$ . Όμως deg Q(x) < n

, άρα

.

Βάζοντας διαδοχικά $x=0,-2,\ldots ,-(2n-2)$ , παίρνουμε $(x_1,\ldots , x_n)=(0,\ldots , 0)$ , όπως θέλαμε.

Οριζιακή ... εξίσωση

Οριζιακή ... εξίσωση

Re: Οριζιακή ... εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση