Διαφορική εξίσωση

stelmarg · #1

Καλημέρα σας και καλό μήνα!
Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y''+xy'-y=0

με αρχικές συνθήκες y'(0)=y(0)=1

mick7 · #2

https://chatgpt.com/share/674c24f7-861c ... 2c6dcdbfa2

#3

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 11:01 am https://chatgpt.com/share/674c24f7-861c ... 2c6dcdbfa2

Είναι απαράδεκτο να βάζουμε τον υπολογιστή να λύσει απλά προβλήματα. Είμαστε σκεπτόμενοι άνθρωποι και αλλοίμονο αν αντικαταστήσουμε την σκέψη μας με μηχανές.

Τέτοιου είδους πρακτική είναι ακριβώς αυτό που πρέπει να αποφεύγουμε να δίνουμε στους μαθητές μας. Το είχα επισημάνει αυτό στον ίδιο mick7 εδώ όπου έγραφα
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Οκτ 20, 2024 12:11 pm ... φοβάμαι ότι η άσκηση είναι του είδους των Μαθηματικών που πρέπει να αποφεύγουμε να διδάσκουμε στους μαθητές μας. Τα Μαθηματικά είναι συλλογισμός, όχι λογιστική.

Το χειρότερο είναι ότι η λύση με ChatGPT που παραπέμπει ο mick7 είναι οικτρά εσφαλμένη. Για παράδειγμα αποδεικνύεται ότι είναι

a_3=a_5=a_7=... =0

(όλοι οι περιτττοί όροι εκτός του πρώτου, είναι

)

ενώ το ChatGPT τους βγάζει μη μηδενικούς. Επίσης το ChatGPT δεν δίνει τον γενικό όρο, δηλαδή δεν έκανε τίποτα.

Αν μου έγραφε φοιτητής σε διαγώνισμα την παρατεθείσα λύση του mick7/ChatGPT θα έβαζα ένα στρογγυλό μηδέν στην άσκηση.

Είναι κρίμα να χρησιμοποιούμε τόσο άκριτα τον υπολογιστή σε απλή άσκηση που αναρτήθηκε στο φόρουμ για την χαρά της επίλυσης. Κρίμα.

'Εχω λύση στην άσκηση (μάλιστα έχω δύο τρόπους) αλλά αυτή στιγμή ακόμη δεν έχω ξεπεράσει δυσφορία για την αστοχία της παραπάνω αντιμετώπισης της άσκησης. Ίσως επανέλθω με λύση, αλλά μέ βαριά καρδιά.

mick7 · #4

H έκφραση για τους συντελεστές είναι $a_{n+2} = \frac{(1-n)}{(n+2)(n+1)}a_n$ απο όπου προκύπτει ότι $a_{3}=0$ .

Ωστόσο θα έλεγα οτι η συλλογιστική (χρήση δυναμοσειρων) είναι μάλλον στην σωστή κατεύθυνση απλα θέλει κάποιον έλεγχο απο πλευράς ανθρώπου.

Αδυνατώ να μηδενίσω την προσπάθεια συνάδελφων που είναι πίσω απο αυτές τις 'μηχανές' συχνά με διδακτορικά στα Μαθηματικά. Και οι οποίες θα βελτιώνονται με την πάροδο του χρόνου.

BAGGP93 · #5

Δεν υπάρχει λάθος στη λύση του link που παραθέτει ο mick7. Mηδέν τους βγάζει τους περιττούς όρους και γενική λύση δίνει.

mick7 · #6

Δεν τους βγάζει μηδέν και αυτό επισημαίνει ο κ. Λαμπρου.

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:32 pm Δεν υπάρχει λάθος στη λύση του link που παραθέτει ο mick7. Mηδέν τους βγάζει τους περιττούς όρους και γενική λύση δίνει.

BAGGP93 · #7

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:40 pm Δεν τους βγάζει μηδέν και αυτό επισημαίνει ο κ. Λαμπρου.

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:32 pm Δεν υπάρχει λάθος στη λύση του link που παραθέτει ο mick7. Mηδέν τους βγάζει τους περιττούς όρους και γενική λύση δίνει.

Αφού παραθέτει τη σχέση $\displaystyle{a_{n+2}=\frac{(1-n)\,a_n}{(n+1)(n+2)},\,\,n\in\mathbb{N}_{0}}$ και από αυτήν προκύπτει.

Άλλωστε η γενική λύση περιέχει μόνο άρτιες δυνάμεις του

mick7 · #8

Σχετικο παράδειγμα εδώ ===> https://math.stackexchange.com/question ... redirect=1

mick7 · #9

Περιεχει και τις περιττές όπως φαίνεται στην εικονα

Εικόνα

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:44 pm

Αφού παραθέτει τη σχέση $\displaystyle{a_{n+2}=\frac{(1-n)\,a_n}{(n+1)(n+2)},\,\,n\in\mathbb{N}_{0}}$ και από αυτήν προκύπτει.

Άλλωστε η γενική λύση περιέχει μόνο άρτιες δυνάμεις του

#10

BAGGP93 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:32 pm Δεν υπάρχει λάθος στη λύση του link που παραθέτει ο mick7. Mηδέν τους βγάζει τους περιττούς όρους και γενική λύση δίνει.

Βαγγέλη, ούτε το ένα ούτε το άλλο.

Η λύση που δίνει είναι η $y= 1 + x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{8}x^4 + \cdots$

που όπως βλέπεις ο a_3

είναι $-\frac {1}{6}$ , όχι

.

Επίσης, όπως βλέπεις καταγράφει τους πέντε αρχικούς όρους χωρίς τον γενικό. Προφανώς αυτό που σε μπερδεύει είναι ότι έχει γράψει μία (γενική) αναδρομική σχέση, αλλά αυτό διαφέρει από την καταγραφή του γενικού όρου. Η καταγραφή του γενικού όρου απαιτεί επίλυση της αναδρομικής σχέσης. Η δε επίλυση, εύκολη δεν λέω, έχει όμως ανάγκη διευθέτησης γιατί κάποιος συντελεστής της μηδενίζεται ακριβώς μία φορά, ενώ σε όλες τις άλλες περιπτώσεις είναι μη μηδενικός. Έτσι εκείνη η μία περίπτωση χρειάζεται ξεχωριστή διευθέτηση.

#11

Συνέχεια του αμέσως προηγούμενου ποστ:

Πιο πάνω αναφέρθηκα σε δύο τρόπους επίλυσης. Ο ένας είναι με δυναμοσειρές, όπως άλλωστε είναι σύνηθες.

Ο δεύτερος, είναι να την δούμε ως εξίσωση τύπου Strum-Liouville. Η στάνταρ θεωρία μας οδηγεί σε ολοκληρωτικό παράγοντα και αργότερα στην αλλαγή μεταβλητής y=xv

. Θα βρούμε τότε (αφήνω της πράξεις ρουτίνας) την Διαφορική Εξίσωση

$\displaystyle{\left ( x^2 e^{x^2/2} v'\right )'=0}$ .

Αυτή είναι απλή. Θα βρούμε τελικά

$\displaystyle{\boxed {y= e^{-x^2/2} + \sqrt 2 x\int _0^{x\sqrt 2/2} e^{-t^2} dt+ x}}$

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #12

mick7 έγραψε: Κυρ Δεκ 01, 2024 1:28 pm
Αδυνατώ να μηδενίσω την προσπάθεια συνάδελφων που είναι πίσω απο αυτές τις 'μηχανές' συχνά με διδακτορικά στα Μαθηματικά. Και οι οποίες θα βελτιώνονται με την πάροδο του χρόνου.

Προς τον mick7

Προσωπικά σέβομαι και εκτιμώ βαθύτατα τον κόπο κάποιων προικισμένων μαθηματικών για την ανάπτυξη της τεχνητής νοημοσύνης.
Προς το παρόν όμως, πρέπει να παραδεχτούμε ότι δεν μπορούμε να την εμπιστευθούμε πλήρως, τουλάχιστον για κάποια μαθηματικά θέματα.
Θυμήσου ότι σε ένα απλό πρόβλημα Στερεομετρίας που είχα θέσει προ μηνών είχαν γίνει τα ίδια...
Με το πέρασμα του χρόνου τα πράγματα θα βελτιώνονται, είμαι βέβαιος για αυτό, όμως πάντα ο ανθρώπινος παράγοντας θα έχει τον
κύριο ρόλο.

Al.Koutsouridis · #13

Το βασικό, νομίζω είναι θέμα προσέγγισης του φόρουμ και όχι τόσο το αν είναι χρήσιμη ή όχι η τεχνητή νοημοσύνη, αν δίνει σωστά αποτελέσματα ή όχι. Δηλαδή εδώ τέθηκε ένα θέμα και χωρίς να έχει δοθεί καν απάντηση και μετά από πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, δόθηκε λύση από πρόγραμμα. Δεν βρίσκω κάτι εποικοδομητικό σε αυτό.

stelmarg · #14

Σας ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια σας και ιδιαιτέρως τον κύριο Μιχάλη! καλό βράδυ!

Διαφορική εξίσωση

Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση